Aufgabe 1572
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionstypen
Im Folgenden sind vier Funktionsgleichungen (mit a, b ∈ ℝ+) angeführt und die Graphen von sechs reellen Funktionen dargestellt.
- Funktionsgleichung 1: \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\)
- Funktionsgleichung 2: \(f\left( x \right) = a \cdot {b^x}\)
- Funktionsgleichung 3: \(f\left( x \right) = a \cdot \sqrt x + b\)
- Funktionsgleichung 4: \(f\left( x \right) = a \cdot x + b\)
- Graph A:
- Graph B:
- Graph C:
- Graph D:
- Graph E:
- Graph F:
Aufgabenstellung
Ordnen Sie den vier Funktionsgleichungen jeweils den passenden Graphen (aus A bis F) zu!
Lösungsweg
- In einem 1. Schritt analysieren wir jede der 4 Funktionsgleichungen und arbeiten die spezifischen Charakteristika heraus.
- In einem 2. Schritt prüfen wir, welcher Graph den jeweiligen Charakteristika entspricht.
Es ist einfacher von der Funktionsgleichung auf den Graph zu schließen, als umgekehrt.
- Funktionsgleichung 1: Bei einer Funktion vom Typ \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\)
- muss der Graph durch den Punkt \(P\left( {0\left| 0 \right.} \right)\) laufen weil \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( 0 \right) = 0\) gilt
- bewirkt der Faktor a eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude - der Schwingung
- bewirkt der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
- ⇒ Graph E
- Funktionsgleichung 2: Bei einer Funktion vom Typ \(f\left( x \right) = a \cdot {b^x}\)
- wissen wir, dass die x-Achse die Asymptote der Exponentialfunktion bildet, die keine Nullstellen und kein Symmetrieverhalten hat
- ⇒ Graph A
- Funktionsgleichung 3: Bei einer Funktion vom Typ \(f\left( x \right) = a \cdot \sqrt x + b\)
- wissen wir, dass der Graph aller Wurzelfunktionen im Ursprung (0|0) vom Koordinatensystem startet und durch den Punkt (1|1) verläuft.
- Wurzelfunktionen sind streng monoton steigend
- Der Term "+b" den Graph um b Einheiten in Richtung der positiven y-Achse verschiebt
- ⇒ Graph F
- Funktionsgleichung 4: Bei einer Funktion vom Typ \(f\left( x \right) = a \cdot x + b\)
- wissen wir, dass es sich um eine lineare Funktion also um eine Gerade handeln muss
- a der Steigung der Geraden und b dem Abschnitt auf der y-Achse entspricht
- ⇒ Graph B
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Funktionsgleichung 1: Graph E
- Funktionsgleichung 2: Graph A
- Funktionsgleichung 3: Graph F
- Funktionsgleichung 4: Graph B
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jeder der vier Funktionsgleichungen ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.