Aufgabe 5694
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Niedrigzinsphase – Aufgabe B_568
Infolge der Finanzmarktkrise 2008 entstand eine über Jahre andauernde Phase niedriger Zinsen.
Teil d
Die Europäische Zentralbank legt einen sogenannten Leitzinssatz fest. Seit der Finanzmarktkrise 2008 ist der Leitzinssatz gesunken (siehe nachstehende Tabelle):
Zeit ab 1.1.2008 in Jahren | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Leitzinssatz in % | 4,00 | 2,50 | 1,00 | 1,00 | 1,00 | 0,75 | 0,25 | 0,05 |
Datenquelle: https://www.finanzen.net/leitzins/@historisch [21.10.2020].
Die zeitliche Entwicklung des Leitzinssatzes soll mithilfe von exponentieller Regression durch die Funktion L modelliert werden.
\(L\left( t \right) = a \cdot {b^t}\)
- t ... Zeit ab 1.1.2008 in Jahren
- L(t) ... Leitzinssatz zur Zeit t in Prozent
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der Funktion L auf.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie den Zeitraum, in dem sich der Leitzinssatz gemäß der Funktion L jeweils halbiert.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Wir lösen die Aufgabe mit Hilfe von Geogebra:
- GeoGebra:
- Tabellen + Grafik + Algebra Ansicht aktivieren
- Ansicht → Tabelle → die 8 Datensätze gemäß Angabe eingeben
- Tabelle auswählen, Erzeugen und „Liste von Punkten“ erzeugt die Liste l1
- Eingabe in Command Line: TrendExp2(l1)
Liefert die gesuchte Regressionsgleichung:
\(4,4721 \cdot {0,599^t}\)
2. Teilaufgabe
Die Formel für den Leitzinssatz haben wir in der 1. Teilaufgabe wir folgt ermittelt:
\(4,4721 \cdot {0,599^t}\)
4,472 ist dabei der Anfangswert, zum Zeitpunkt t=0. Gesucht ist jenes t, für das sich der Anfangswert halbiert.
Wir können das handwerklich durchrechnen oder die Gleichung direkt mittels Geogebra lösen.
\(\begin{array}{l} 4,4721 \cdot {0,599^t}\\ \\ 4,4721 \cdot {0,599^t} = \dfrac{{4,4721}}{2}\,\,\,\,\,\left| {:4,4721} \right.\\ {0,599^t} = \dfrac{{4,4721}}{{2 \cdot 4,4721}}\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right.\\ \ln \left( {0,599} \right) \cdot t = \ln \left( {\dfrac{{4,4721}}{{2 \cdot 4,4721}}} \right)\,\,\,\,\\ \ln \left( {0,599} \right) \cdot t = \ln \left( {\dfrac{1}{2}} \right)\,\,\,\,\,\,\left| {:\ln \left( {0,599} \right)} \right.\\ t = \dfrac{{\ln \left( {0,5} \right)}}{{\ln \left( {0,599} \right)}} \approx 1,3525\\ \\ t \approx 1,3525 \end{array}\)
→ Der Leitzinssatz halbiert sich gemäß der Funktion L jeweils in einem Zeitraum von rund 1,35 Jahren.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(4,4721 \cdot {0,599^t}\)
2. Teilaufgabe
Der Leitzinssatz halbiert sich gemäß der Funktion L jeweils in einem Zeitraum von rund 1,35 Jahren.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung der Funktion L.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Zeitraums.