Aufgabe 4562
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 3. Mai 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wasser – Aufgabe B_550
Teil b
Auf einer Website ist zu lesen: „Aktuell liegt der weltweite jährliche Süßwasserbedarf bei geschätzt 4 370 km3, wobei die Grenze der nachhaltigen Nutzung mit 4 000 km3 angegeben wird.“
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie, um wie viel Prozent man den aktuellen Süßwasserbedarf reduzieren müsste, um die Grenze der nachhaltigen Nutzung zu erreichen.
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Der sogenannte Earth Overshoot Day („Welterschöpfungstag“) ist ein bestimmter Tag des Jahres, an dem die menschliche Nachfrage an natürlichen Ressourcen (wie zum Beispiel auch Süßwasser) die Kapazität der Erde in diesem Jahr übersteigt. Ab dem darauf folgenden Tag befindet sich die Menschheit in einem Defizit.
Jahr | Earth Overshoot Day | Anzahl der Tage im Defizit |
1990 | 10. Oktober | 82 |
1995 | 3. Oktober | 89 |
2000 | 22. September | 100 |
2005 | 24. August | 129 |
2010 | 6. August | 147 |
2015 | 3. August | 150 |
2016 | 3. August | 150 |
2017 | 30. Juli | 154 |
Datenquelle: https://www.overshootday.org/newsroom/past-earth-overshoot-days/ [24.11.2021].
Die Anzahl der Tage im Defizit soll in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren beschrieben werden.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der zugehörigen linearen Funktion auf. Wählen Sie t = 0 für das Jahr 1990.
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3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Argumentieren Sie mithilfe des Korrelationskoeffizienten, dass die lineare Regressionsfunktion ein geeignetes Modell darstellt, um die Entwicklung des Earth Overshoot Day zu beschreiben.
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4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie mithilfe dieses Modells, nach welcher Zeit t sich die Menschheit 364 Tage im Defizit befindet.
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Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die prozentuale Änderung entspricht dem Quotienten aus der absoluten Änderung und dem Grundwert, multipliziert mit 100%. In diesem Beispiel ist der Grundwert der aktuelle Süßwasserbedarf von 4 370 km3
\(p = \dfrac{{4370 - 4000}}{{4370}} = \dfrac{{370}}{{4370}} \approx 0,0846 \to 8,46\% \)
Man müsste den Süßwasserbedarf um rund 8,5 % reduzieren.
2. Teilaufgabe:
Ermittlung mittels Technologieeinsatz:
GeoGebra:
- Tabellen + Grafik + Algebra Ansicht aktivieren
- Ansicht → Tabelle → die 8 Datensätze gemäß Angabe eingeben
- alle Datensätze mit Rechteck auswählen → rechte Maustaste → Erzeugen → Liste von Punkten
- Bearbeiten → Eigenschaften → Grundeinstellungen →
- x-Achse: -5 .. 30 und y-Achse: 0 .. 170 einstellen
- allenfalls das Koordinatengitter ausblenden
- Grafik-Ansicht → 4. Icon → Regressionsgerade
- Algebra-Ansicht: Die Gleichung der Regressionsgeraden ist wie folgt ablesbar:
\(f\left( t \right) \approx 2,885 \cdot t + 78,96\)
- t ... Zeit ab 1990 in Jahren
- f(t) ... Anzahl der Tage im Defizit zur Zeit t
3. Teilaufgabe:
Ermittlung mittels Technologieeinsatz:
Die Korrelation ist ein Maß für den linearen Zusammenhang zwischen zwei Datensätzen (Variablen).
Zur Ermittlung vom Korrelationskoeffizienten verwenden wir GeoGebra. Die Liste von Punkten haben wir bereits in der 2. Teilaufgabe erzeugt:
- Geogebra Algebraansicht
- KorrelationsKoeffizient[ <Liste von Punkten> ]
Berechnet den Korrelationskoeffizienten mithilfe der Koordinaten der angegebenen Punkte, welche die Werte für die beiden Zufallsvariablen X und Y bestimmen.
KorrelationsKoeffizient(l1) liefert: r=0,9788
→ Der Wert liegt nahe bei 1 womit eine lineare Abhängigkeit bestätigt werden kann.
4. Teilaufgabe:
Wir setzen in die Gleichung die wir in der 2. Teilaufgabe ermittelt haben ein und erhalten
\(\eqalign{ & f\left( t \right) \approx 2,885 \cdot t + 78,96 = 364\,\,\,\,\,\left| { - 78,98} \right. \cr & 2,885 \cdot t \approx 285,02 \cr & t \approx \dfrac{{285,02}}{{2,885}} \approx 98,7 \cr} \)
→ Nach 98,7 Jahren befindet sich die Menschheit 364 Tage im Defizit.
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet
1. Teilaufgabe
Man müsste den Süßwasserbedarf um rund 8,5 % reduzieren.
2. Teilaufgabe
\(f\left( t \right) \approx 2,885 \cdot t + 78,96\)
3. Teilaufgabe
Da der Korrelationskoeffizient nahe bei 1 liegt, lasst sich ein linearer Zusammenhang zwischen diesen beiden Größen vermuten.
4. Teilaufgabe
Nach ca. 99 Jahren befindet sich die Menschheit 364 Tage im Defizit.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen des Prozentsatzes.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung der linearen Regressionsfunktion.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Argumentieren mithilfe des Korrelationskoeffizienten.
4. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Zeit t.