Aufgabe 4096

1. Teilaufgabe:

Aus der Angabe wissen wir, wo sich das Fahrzeug zum Zeitpunkt t=0 bzw. t=1,5 befand. Dieses Punktepaar müssen wir durch eine lineare Funktion verbinden:

\(\eqalign{ & s\left( {t = 0,5} \right) = 0 \cr & s\left( {t = 1,5} \right) = 16 \cdot 1,5 - 9 = 15 \cr & \cr & s\left( t \right) = k \cdot t + d \cr & Gl.1:s\left( {t = 0,5} \right) = k \cdot 0,5 + d = 0 \cr & Gl.2:s\left( {t = 1,5} \right) = k \cdot 1,5 + d = 15 \cr & \cr & Gl.1: \to d = - 0,5 \cdot k \cr & Gl.2: \to 1,5 \cdot k - 0,5 \cdot k = 15 \to k = 15 \cr & d = - 0,5 \cdot 15 = - 7,5 \cr & \cr & s\left( t \right) = 15 \cdot t - 7,5{\text{ für 0}}{\text{,5 < t}} \leqslant {\text{1}}{\text{,5}} \cr} \)

2. Teilaufgabe:

Wenn wir die Geschwindigkeitsfunktion über die Zeit integrieren, dann erhalten wir die Wegfunktion in Abhängigkeit von der Zeit:

\(\begin{array}{l} v\left( t \right) = - 0,73 \cdot {t^2} + 2,43 \cdot t + 10\\ s\left( t \right) = \int\limits_0^T {v\left( t \right)} \,\,dt = \int\limits_0^T {\left( { - 0,73 \cdot {t^2} + 2,43 \cdot t + 10} \right)} \,\,dt = \\ = \frac{{ - 0,73}}{3} \cdot {t^3} + \frac{{2,43}}{2} \cdot {t^2} + 10 \cdot t\left| {\begin{array}{*{20}{c}} T\\ 0 \end{array}} \right. = \\ = \left[ {\frac{{ - 0,73}}{3} \cdot {T^3} + \frac{{2,43}}{2} \cdot {T^2} + 10 \cdot T} \right] - \left[ {\frac{{ - 0,73}}{3} \cdot {0^3} + \frac{{2,43}}{2} \cdot {0^2} + 10 \cdot 0} \right] = \\ = - 0,24333 \cdot {T^3} + 1,215 \cdot {T^2} + 10 \cdot T \end{array}\)

Wir setzen nun die Gleichungen für den zurückgelegten Weg des Läufers mit jener vom Catcher-Car gleich und errechnen daraus denjenigen Zeitpunkt an dem die beiden Funktionen gleich sind. Grafisch kann man sich diese Stelle als den Schnittpunkt zweier Geraden vorstellen.

\(\begin{array}{l} s\left( {t = T} \right): - 0,24333 \cdot {T^3} + 1,215 \cdot {T^2} + 10 \cdot T\\ s(t = T):16 \cdot T - 9\\ \\ - 0,24333 \cdot {T^3} + 1,215 \cdot {T^2} + 10 \cdot T = 16 \cdot T - 9\\ - 0,24333 \cdot {T^3} + 1,215 \cdot {T^2} + 10 \cdot T + 9 = 16 \cdot T\\ - 0,24333 \cdot {T^3} + 1,215 \cdot {T^2} + 10 \cdot T - 16 \cdot T + 9 = 0\\ - 0,24333 \cdot {T^3} + 1,215 \cdot {T^2} - 6 \cdot T + 9 = 0\\ \\ T \approx 1,97863 \end{array}\)

Die Lösung mittels Technologieeinsatz der kubischen Gleichung liefert eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen.
Copy-Past-Code für Wolfram Alpha: -0.24333*T^(3)+1.215*T^(2)-6*T+9=0

→ Der Läufer wird nach etwa 2 Stunden eingeholt.