Aufgabe 5670
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Testfahrten – Aufgabe A_326
Auf drei Teststrecken werden Testfahrten mit Autos durchgeführt.
Teil a
Eine bestimmte Testfahrt auf der ersten Teststrecke kann modellhaft durch die nachstehend dargestellte Weg-Zeit-Funktion s1 beschrieben werden.
- t ... Zeit in s
- s1(t) ... zurückgelegter Weg zur Zeit t in m
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie die mittlere Geschwindigkeit des Autos auf den letzten 70 m der Testfahrt.
[0 / 1 P.]
Die Weg-Zeit-Funktion s1 setzt sich aus einer linearen Funktion (im Zeitintervall [0; 5]) und einer quadratischen Funktion (im Zeitintervall [5; 10]) zusammen (siehe obige Abbildung).
- An der Stelle t = 5 haben die lineare Funktion und die quadratische Funktion die gleiche Steigung.
- An der Stelle t = 10 hat die quadratische Funktion die Steigung 0.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen der zugehörigen Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v1 ein.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Der Differenzenquotient gibt die mittlere Änderungsrate in einem Intervall an.
\(\eqalign{ & {v_2} = \dfrac{{{s_2}}}{{{t_2}}} = \dfrac{{150}}{{10}} \cr & {v_1} = \dfrac{{{s_1}}}{{{t_1}}} = \dfrac{{150 - 70 = 80}}{4} \cr & \cr & \dfrac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \dfrac{{{s_2} - {s_1}}}{{{t_2} - {t_1}}} = \dfrac{{150 - 80}}{{10 - 4}} = \dfrac{{70}}{6} \approx 11,666 \cr} \)
→ Die mittlere Geschwindigkeit beträgt rund 11,7 m/s.
2. Teilaufgabe
Wir betrachten den gegebenen Weg-Zeit Zusammenhang:
Im Intervall 0..5 Sekunden wird in jedem Zeitintervall (z.B. 1 Sekunde) die gleiche Wegstrecke (von 20 m) zurückgelegt. Die Geschwindigkeit beträgt also konstante 20 m/s.
→ Das entspricht einer Geraden parallel zur x-Achse mit v=20 m/s.
Im Intervall 5 .. 10 Sekunden wird in jedem Zeitintervall eine kürzere Wegstrecke zurückgelegt, dh die Geschwindigkeit muss abnehmen. Konkret muss sie von 20 m/s auf 0 m/s sinken, da ab t=10 keine weitere Wegstrecke mehr zurückgelegt wird, als muss das Fahrzeug ab t=10 stillstehen.
Wenn man die Weg-Zeit-Funktion einmal differenziert, erhält man die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion gemäß
\(v\left( t \right) = \dfrac{{ds}}{{dt}}\)
Leitet man die, laut Angabe quadratische, Weg-Zeit-Funktion einmal nach der Zeit ab, so erhält man eine lineare Geschwindigkeits-Zeit-Funktion, weil die 1. Ableitung jeder x-beliebigen quadratischen Funktion eine lineare Funktion ergibt. Wir kennen den Anfangspunkt (5|20) und den Endpunkt (10|0) vom der Geraden v(t) im Intervall 5 .. 10 Sekunden.
→ Das entspricht einer Geraden durch die Punkte (5|20) und (10|0).
Somit:
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Die mittlere Geschwindigkeit beträgt rund 11,7 m/s.
2. Teilaufgabe
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der mittleren Geschwindigkeit.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Graphen der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v1. Der Punkt ist nur dann zu vergeben, wenn beide Graphen als Strecken, die jeweils durch die richtigen Endpunkte verlaufen, zu erkennen sind.