Aufgabe 4180
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-A Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Pelletsheizung - Aufgabe A_068
Teil b
Die Temperatur, auf die das Wasser eines Heizsystems erwärmt wird, bezeichnet man als Vorlauftemperatur. Bei einer Pelletsheizung ist die Vorlauftemperatur abhängig von der Außentemperatur. Den Graphen der zugehörigen Funktion V nennt man Heizkurve. In der nachstehenden Abbildung ist eine solche Heizkurve für Außentemperaturen von –15 °C bis 20 °C dargestellt.
- Aussage 1: \(V\left( x \right) > 0{\text{ und }}V'\left( x \right) > 0\)
- Aussage 2: \(V'\left( x \right) > 0{\text{ und }}V''\left( x \right) < 0\)
- Aussage 3: \(V\left( x \right) < 0{\text{ und }}V''\left( x \right) < 0\)
- Aussage 4: \(V'\left( x \right) < 0{\text{ und }}V''\left( x \right) < 0\)
- Aussage 5: \(V\left( x \right) < 0{\text{ und }}V''\left( x \right) > 0\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie die auf die Funktion V im Intervall ]0; 20[ zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [1 Punkt]
Die Funktion V soll im Intervall [–15; 20] durch eine lineare Funktion ersetzt werden. Diese soll an den Randpunkten des Intervalls die gleichen Funktionswerte wie V haben.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen dieser linearen Funktion ein.
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Geben Sie an, um wie viel Grad Celsius die Vorlauftemperatur bei einer Außentemperatur von 0 °C geringer ist, wenn anstelle der Funktion V die lineare Funktion verwendet wird.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Mit Hilfe der Regeln für das grafische Differenzieren können wir die 5 Aussagen wie folgt bewerten:
- Aussage 1: Falsch, weil
- Die 1. Bedingung sagt aus, dass die Funktion oberhalb der x-Achse liegt, was auch der Fall ist.
- Die 2. Bedingung sagt aus, dass die Funktion steigend ist, was nicht der Fall ist
- Aussage 2: Falsch, weil
- Die 1. Bedingung sagt aus, dass die Funktion steigend ist, was nicht der Fall ist
- Die 1. Bedingung sagt aus, dass die Funktion steigend ist, was nicht der Fall ist
- Aussage 3; Falsch, weil
- Die 1. Bedingung sagt aus, dass die Funktion unterhalb der x-Achse liegt, was nicht der Fall ist.
- Die 1. Bedingung sagt aus, dass die Funktion unterhalb der x-Achse liegt, was nicht der Fall ist.
- Aussage 4; Richtig, weil
- Die 1. Bedingung sagt aus, dass die Funktion fallend ist, was auch der Fall ist.
- Die 2. Bedingung sagt aus, dass die Funktion rechtsgekrümmt bzw. negativ gekrümmt bzw. konkav ist, was auch der Fall ist
- Aussage 5: Falsch, weil
- Die 1. Bedingung sagt aus, dass die Funktion unterhalb der x-Achse liegt, was nicht der Fall ist.
2. Teilaufgabe:
Wir verbinden die beiden Endpunkte der gegebenen Funktion durch eine Gerade und erhalten folgende Illustration
3. Teilaufgabe:
- Die Funktion welche die Vorlauftemperatur angibt schneidet die y-Achse (x=0, bzw. Außentemperatur =0° C) bei 48°C.
- Die lineare Näherungsfunktion schneidet die y-Achse (x=0, bzw. Außentemperatur =0° C) bei 43°C.
Der Fehler beträgt 48°-43°=5°
→ Die Vorlauftemperatur bei einer Außentemperatur von 0 °C ist um rund 5 °C geringer.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet
1. Teilaufgabe
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
2. Teilaufgabe
3. Teilaufgabe
Die Vorlauftemperatur bei einer Außentemperatur von 0 °C ist um rund 5 °C geringer.
Lösungsschlüssel
1. Teilaufgabe
1 × A1: für das richtige Ankreuzen
2. Teilaufgabe
1 × A2: für das richtige Einzeichnen des Graphen der linearen Funktion
3. Teilaufgabe
1 × C: für die richtige Angabe der Temperaturdifferenz
Toleranzbereich: [3,5 °C; 6,5 °C]