Aufgabe 1150
AHS - 1_150 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Polynomfunktion – Funktionsuntersuchung
Gegeben ist eine Polynomfunktion f mit der Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\) mit den Parametern \(a \ne 0;\,\,\,\,\,\,\,a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in {\ {\Bbb R}}\) . Die Funktion f hat einen Hochpunkt im Punkt H = (2|2) und einen Wendepunkt an der Stelle x2 = –1. An der Stelle x3 = 3 hat die Steigung der Funktion den Wert –9.
- Aussage 1: \(f'\left( 3 \right) = - 9\)
- Aussage 2: \(f\left( 2 \right) = 0\)
- Aussage 3: \(f''\left( { - 1} \right) = 0\)
- Aussage 4: \(f'\left( 2 \right) = 0\)
- Aussage 5: \(f''\left( 2 \right) = 0\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Wir fassen zusammen, was wir über die Funktion und ihre 1. bzw. 2. Ableitungen wissen:
- x2=-1: f hat WP → \(f''\left( {{x_2}} \right) = 0{\text{ und f'''}}\left( {{x_2}} \right) \ne 0\)
- x1=2 → f(x1)=2 ist HP → \(f'\left( {{x_1}} \right) = 0{\text{ und f''}}\left( {{x_1}} \right) < 0\)
- x3=3: k=-9 → f'(x3)=-9
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil wir aus der Angabe wissen, dass für die Steigung k der Tangente an die Funktion in der Stelle x3 wie folgt gilt: x3=3: k=-9 → f'(x3)=-9
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil wir aus der Angabe wissen, dass an der Stelle x1=2 ein HP liegt und der Funktionswert dort f(x1)=2 und nicht 0 beträgt.
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil an der Stelle x2=-1 die Funktion einen HP hat und daher für die 2. Ableitung an dieser Stelle wie folgt gelten muss: \(f''\left( { - 1} \right) = 0\)
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil an der Stelle x1=2 ein HP liegt und in einem HP die Tangente horizontal verläuft und somit deren Steigung f'(2)=k=0 betragen muss
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil an der Stelle x1=2 ein HP liegt und in einem HP wie folgt gilt: \(f'\left( {{x_1}} \right) = 0{\text{ und f''}}\left( {{x_1}} \right) < 0\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau drei Aussagen angekreuzt sind und alle Kreuze richtig gesetzt sind.