Elektrotechnik und Physik
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Schwarzes Loch und Ereignishorizont
Bei einer fest vorgegebenen Entfernung r vom Schwerpunkt einer Masse M, wird die erforderliche Fluchtgeschwindigkeit vF umso größer, je größer die Masse ist. Bei einer entsprechend sehr dichten Masse erreicht die Fluchtgeschwindigkeit vF irgend wann die Lichtgeschwindigkeit c und auch Licht kann dann diese Masse nicht mehr verlassen.
\({v_F} = \sqrt {\dfrac{{2GM}}{r}} \)
Die Oberfläche, der Region, bei deren Durchschreiten auch ein Lichtstrahl auf Grund der Gravitation nicht mehr entkommen kann, wird als Ereignishorizont bezeichnet. Das Innere dieser Region selbst nennt man „Schwarzes Loch“.
\({r_S}\left( M \right) = \dfrac{{2 \cdot G}}{{{c^2}}} \cdot M\)
G = Gravitationskonstante
Bei einer fest vorgegebenen Masse M kann man jene Entfernung rS berechnen, ab deren Unterschreitung selbst Licht nicht mehr die Masse M verlassen kann. Man nennt diese masseabhängige Entfernung den Schwarzschildradius rS. Für eine Sonnenmasse beträgt er ca. 3km. Die Masse eines Schwarzen Lochs ist aber innerhalb vom Schwarzschildradius nicht gleichmäßig verteilt, sondern sie steckt in einer punktförmigen Raumzeit-Singularität, d.h. die Krümmung der Raumzeit und die Dichte sind unendlich. Dieser Zustand ist dichter als das Quark-Gluonen Plasma, dem dichtesten derzeit erklärbaren Aggregatzustand und es existieren weder Elektronen und Neutrinos noch Quarks und Gluonen.
Bei kollabierenden Sternen wird auf Grund des Actio und Reactio Prinzips immer die halbe Masse ins All abgestoßen, während die 2. Hälfte der Masse kollabiert. Die schwersten Sterne im Universum liegen aber bei unter 300 Sonnenmassen, wodurch sich der größte Schwarzschildradius eines stellaren Schwarzen Lochs zu 150 x 3 km = 450 km errechnet. Man muss also keine Sorge haben, einem solchen Schwarzen Loch je zu begegnen. In den Zentren von Galaxien finden sich aber Massekonzentrationen - supermassive Schwarze Löcher - mit mehreren Milliarden Sonnenmassen. Auch deren Schwarzschildradius hätte noch Platz innerhalb unseres Sonnensystems - er würde etwa bis zu den äußersten Planten reichen und wäre mit astronomischen Maßstäben verglichen sehr sehr sehr klein.
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Farbfotografie
So kommt die Farbinformation in die Camera-RAW-Datei
In einem Sensor mit z.B. 24 Megapixel werden Halbleiterbauelemente in einem Raster von 6000 Spalten und 4000 Zeilen angeordnet. Nach der Aufnahme für jedes Pixel die Anzahl der registrierten Pixel in Form von 16.385 Graustufen, die zwischen schwarz und weiß liegen, abgespeichert. Es liegt noch keine Farbinformation vor.
Dreifarbenauszug
Die monochrome Bilderfassung in Form von Grauwerten muss adaptiert werden, um Farbaufnahmen zu ermöglichen. Mit Hilfe eines Bayer-Filters werden Grauwerte abgespeichert, die einer der drei Grundfarben im additiven RGB-System entsprechen.
IR-Sperrfilter
Moderne Fotosensoren decken bezüglich des Inneren Photoelektrischen Effekts einen Spektralbereich von Blau (400 nm) bis Infrarot (2400 nm) ab. Da der Infrarotbereich unerwünscht ist, wird er durch einen IR-Sperrfilter eliminiert.
Tiefpass-Filter
Moire-Artefakte (z.B. Farbsäume auf Kleidung) treten dann auf, wenn sich das Pixelraster des Bildsensors mit feinen Strukturen im Motiv überlagert. Dies kann nur bei hochfrequenten Bildanteilen entstehen. Dies kann man mit einem Tiefpassfilter vor dem Bildsensor verhindern, indem man hochfrequente Bildanteile herausfiltert, wodurch jedoch feinste Details nicht mehr wiedergegeben werden können und Schärfe verloren wird.
Bayer Filter
Bei den gängigen Farbfilter-Array-Kameras wird jedes der z.B. 24 Megapixel mit einem Farbfilter bedeckt, welcher nur Photonen mit jener Wellenlänge, die rotem, grünem oder blauem Licht entspricht, zur lichtempfindlichen Sensorschicht durchlässt. Dabei werden die Farbfilter Schachbrettartig angeordnet, wobei 50% der Pixel der Farbe Grün und je 25% der Pixel für die Farben Rot und Blau zugewiesen werden.
Abbildung: Bayer Filter, gemeinfrei, 27.12.2022
https://de.wikipedia.org/wiki/Bayer-Sensor#/media/Datei:Bayer_matrix.svg
Jedes der 24 Megapixel Pixel des Sensors entspricht nun nicht mehr einem von 16.385 Zahlenwerten (Luminanzwert), welcher einer Grauabstufung entspricht, sondern einem von 16.385 Zahlenwerten, dessen Luminanzwert abhängig von der Position im Bayer-Filter entweder einer roten oder grünen oder blauen Helligkeitswertabstufung entspricht. In der RAW-Datei werden daher nicht nur die 24 Millionen 14-Bit-Helligkeitswerte abgespeichert, sondern auch Metadaten, z.B. über welchem Pixel welcher Farbfilter gelegen hat. Dadurch ist es dem RAW-Konverter möglich, unter Berücksichtigung der Helligkeitswerte von je 4 benachbarten Pixel, von denen eines dem roten, eines dem blauen und zwei dem grünen Luminanzwert entspricht, die fehlenden beiden Farbinformationen für jedes einzelne Pixel zu interpolieren. D.h, je 4 Luminanzwerte, welche den Helligkeiten von 4 Grauwerten entsprechen, werden gemäß der Anordnung im BayerschenFarbfilter über dem jeweiligen Pixel, in 4 Farbwerte umgerechnet.
Wir fassen zusammen: Ein 24 Megapixel-Sensor unter einem Bayer-Filter zeichnet 24 Millionen Grauwerte in einer Abstufung von 16.384 Helligkeitsstufen auf, die je der Farbe Rot, Grün oder Blau entsprechen. Durch Interpolation mit den Nachbarpixeln entstehen wiederum 24 Millionen Farbwerte.
Normalisierter Tonwertumfang
Bei einem A/D Wandler mit 14 Bit pro Farbe liegt der jeweilige Wert pro Farbkanal zwischen 0 und 16.385. Ein A/D-Wandler mit 14 Bit für jeden der 3 Farbkanäle schreibt also die GRB-Farben 3*14=42 Bit in die RAW-Datei (jedoch nur mit 3*8=24 Bit in die JPEG-Datei.)
Damit die digitale Repräsentation je Farbkanal unabhängig von der verfügbaren Bittiefe (10, 12, 14 Bit je Farbkanal) des verwendeten A/D-Wandlers wird, dividiert man den Luminazwert pro Kanal durch die Bittiefe des A/D-Wandlers, also beim 10 Bit A/D Wandler eines Smartphones durch 1.024 und bei 14 Bit A/D-Wandler einer professionellen Kamera durch 16.385. Dadurch normalisiert man die Abstufungen der Luminanz je Farbkanal auf den Bereich zwischen 0 und 1.
Weißabgleich mittels Skalen
Die RGB-Kanäle eines Sensors weisen unterschiedliche relative spektrale Empfindlichkeiten auf. D.h selbst wenn jede Wellenlänge für RGB die gleiche Intensität hat (weißes Licht), dann ergeben sich nach dem A/D-Wandler unterschiedliche digitale Bit-Werte für RGB, was nicht mehr Weiß entspricht. Um diesem Farbstich entgegenzuwirken, kommen Weißabgleichskalen zur Anwendung, welche die unterschiedliche relative spektrale Empfindlichkeit wieder ausgleichen. Nach deren Anwendung sollten die Rot, Grün und Blau Luminanzwerte eines neutralgrauen Objekts wieder gleich sein, in Summe also einen Grauton ergeben.
Ohmsches Gesetz
Das ohmsche Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen der an den Klemmen eines Stromkreises anliegenden Spannung, die einen Strom durch den Leiter treibt, dessen Höhe jedoch von Materialeigenschaften bzw. von der Geometrie des Leiterdrahts abhängt.
Der ohmsche Widerstand sinkt proportional mit zunehmenden Leiterquerschnitt (indirekte Proportionalität), steigt proportional mit zunehmender Leiterlänge (direkte Proportionalität) und ist abhängig von einer Materialeigenschaft, dem spezifischen Widerstand bzw. dem spezifischen Leitwert. Der ohmsche Widerstand ist bei Elektroheizungen erwünscht, nicht aber bei der Energieübertragung, wo der Spannungsabfall entlang der Leitung zu einer Verlustleistung führt.
\(R=\dfrac{U}{I} \)
Treibt die Spannung U=1V einen Strom von der Stärke I=1A so beträgt der ohmsche Widerstand R=1W
I | Strom in A(mpere) |
U | Spannung in V(olt) |
R | Widerstand („Resistanz“) in Ω (Ohm) auch "Wirkwiderstand" |
- Die Beziehung \(U = R \cdot I\) gilt nur für rein ohmsche Widerstände, nicht nur bei Gleichstrom sondern auch bei Wechselstrom, weil in diesem Fall die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung genau 0° beträgt. (D.h. der Nulldurchgang von Strom und Spannung erfolgen zeitgleich). Ohmsche Widerstände wandeln elektrische Energie ausnahmslos in thermische Energie um - sie werden heiß. Spulen und Kondensatoren hingegen sind keine rein ohmschen Widerstände.
- Die Beziehung \(U = R \cdot I\) gilt auch nur für lineare ohmsche Widerstände. Dioden sind ein Beispiel für elektronische Bauelemente mit einem nichtlinearen Zusammenhang zwischen Strom und Spannung. Dieser Zusammenhang muss daher einer individuellen Strom-Spannungskennlinie entnommen werden. Für jeden einzelnen Punkt dieser Kennlinie gilt das ohmsche Gesetz wiederum.
Arbeit (Mechanik)
Die mechanische Arbeit entspricht der Kraft in Richtung des Weges mal dem zurückgelegten Weg.
\(W = F \cdot s\) oder genauer: \(W = \int\limits_{\overrightarrow {{s_A}} }^{\overrightarrow {{s_E}} } {\overrightarrow F \left( {\overrightarrow s } \right)} \cdot \,\,d\overrightarrow s\)
\({\text{Arbeit = Kraft}} \cdot {\text{Weg}}\)
\({\text{Einheit: 1}}J = 1\dfrac{{kg \cdot m}}{{{s^2}}} \cdot m = 1Nm\)
Potentielle Energie
Die potentielle Energie eines Körpers ergibt sich aus seiner Lage in einem Kraftfeld. Wird ein Körper der Masse m im Erdschwerefeld um die Höhe h angehoben, so erhöht sich seine potentielle Energie, auch Energie der Lage genannt, entsprechend.
\({E_{pot}} = m \cdot g \cdot h\)
\({\text{potentielle Energie = Masse}} \cdot {\text{Erdbeschleunigung}} \cdot {\text{Höhe}}\)
\({\text{Einheit: }}1J = 1kg \cdot \dfrac{m}{{{s^2}}} \cdot m = 1Nm\)
Potentielle Energie der gespannten Feder
Dehnt man eine Feder mit der Federkonstanten k um x, so verrichtet man dabei Spannungsarbeit. Diese Arbeit wird in Form von potentieller Energie so lange in der Feder gespeichert, bis sich die Feder wieder entspannen kann.
\({E_p} = \dfrac{1}{2} \cdot k \cdot {x^2}\)
Kinetische Energie
Wird ein ruhender Körper der Masse m auf die Geschwindigkeit v beschleunigt, so erhöht sich seine kinetische Energie, auch Energie der Bewegung genannt, entsprechend.
\({E_{kin}} = \dfrac{1}{2}m \cdot {v^2}\)
\({\text{kinetische Energie = }}\dfrac{1}{2} \cdot {\text{Masse}} \cdot {\text{Quadrat der Geschwindigkeit}}\)
\({\text{Einheit: }}1J = 1kg \cdot {\left( {\dfrac{m}{s}} \right)^2} = 1Nm\)
Energieerhaltungssatz für abgeschlossene Systeme
In abgeschlossenen reibungsfreien Systemen ist die Gesamtenergie konstant.
\({E_{ges}} = {E_{kin}} + {E_{pot}}{\text{ = konstant}}\)
Licht durchquert ein Medium
Trifft ein Lichtstrahl auf ein Medium endlicher Dicke, wird je nach Stoffeigenschaft des Mediums ein Teil des Lichts an der Grenzfläche reflektiert, ein Teil beim Durchgang durch das Medium absorbiert woraufhin sich der Körper erwärmt, während der verbleibende Rest transmittiert und auf der Gegenseite des Mediums wieder austritt. Von Streuung spricht man, wenn ein einfallender Lichtstrahl zu einem auseinanderlaufenden Strahlenbündel wird.
Ein Körper, der die gesamte auftreffende Strahlung reflektiert, ist ein weißer Körper. Ist der Grad der Reflexion geringer, als beim weißen Körper, dafür jedoch von der Wellenlänge unabhängig, so handelt es sich um einen grauen Körper. Ein Körper, welcher die gesamte auftreffende Strahlung absorbiert, ist ein schwarzer Körper. Wenn der Körper verschiedene Wellenlängen unterschiedlich stark absorbiert, dann ist der Körper farbig. Wenn ein Körper aber alle Wellenlänge außer eine bestimmten Wellenlänge /z.b.: rot) absorbiert, dann nehmen unsere Augen diesen Körper in der Farbe vom reflektierten Licht (im Beispiel also als rot) wahr.
I0 | Lichtstärke des einfallenden Strahl |
Ir | Lichtstärke des reflektierten Strahl |
Ia | Lichtstärke des absorbierten Strahls |
It | Lichtstärke des transmittieren Strahls |
\(\rho\) | Reflexionsverhältnis: Anteil der Strahlung, die nicht aufgenommen sondern die nach außen reflektiert wird |
\(\alpha\) | Absorptionsverhältnis: Anteil der Strahlung, die aufgenommen und absorbiert wird |
\(\tau\) | Transmissionsverhältnis: Anteil der Strahlung, die aufgenommen und durchgelassen wird |
Reflexion
Bei der Reflexion teilt sich ein einfallender Lichtstrahl in einen reflektierten Strahl und in einen transmittierten Strahl auf. Einfallswinkel und Reflexionswinkel sind gleich groß. Das spektrale Reflexionsvermögen \(\rho \left( \lambda \right)\) ist frequenzabhängig gemäß dem Verhältnis von reflektierter Lichtstärke Ir zu einfallender Lichtstärke I0.
\({\alpha _{{\text{Einfallwinkel}}}} = {\alpha _{{\text{Reflexionswinkel}}}}\)
\( \rho \left( \lambda \right) = \dfrac{{{I_r}}}{{{I_0}}}\)
Absorption
Absorption ist der Quotient aus absorbierter und einfallender Lichtstärke. Das spektrale Absorptionsvermögen \(\alpha \left( \lambda \right)\) ist frequenzabhängig und ergibt sich als das Verhältnis von absorbierter Ia zu einfallender I0 Lichtstärke..
\(\alpha \left( \lambda \right) = \dfrac{{{I_a}}}{{{I_0}}}\)
Transmission
Von Transmission spricht man, wenn ein Medium für Strahlen durchlässig ist. Transmission ist eine Größe für die Durchlässigkeit eines Mediums für Lichtstrahlen, oder allgemein für Wellen. Die Lichtstärke I kann beim Durchqueren eines Mediums entlang der Wegstrecke x, von dessen ursprüngliche Stärke I0 abgeschwächt werden gemäß:
\(I = {I_0} \cdot {e^{ - kx}}\)
mit: \(I \leqslant {I_0}\)
Das spektrale Transmissionsvermögen \(\tau \left( \lambda \right)\) ist frequenzabhängig gemäß dem Verhältnis von transmittierter It zu einfallender I0 Lichtstärke. Ob und wenn wie stark ein Körper transmittiert, hängt vom Material des Körpers, der Wellenlänge des Lichtstrahls und der zurückgelegten Wegstrecke ab.
\(\tau \left( \lambda \right) = \dfrac{{{I_t}}}{{{I_0}}}\)
Energieerhaltungssatz der Strahlungsanteile
Werden die Anteile der Reflexion, Absorption und Transmission addiert, muss nach dem Energieerhaltungssatz die gesamte Strahlungsintensität erhalten bleiben.
\({I_0} = \rho \cdot {I_0} + \alpha \cdot {I_0} + \tau \cdot {I_0} = {I_0}\left( {\rho + \alpha + \tau } \right)\)
Erhaltungssatz der Strahlungsanteil-Verhältnisse
Aus dem Energieerhaltungssatz der Strahlungsanteile folgt der Erhaltungssatz der Strahlungsanteil-Verhältnisse
\(\rho + \alpha + \tau = 1\)
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Zusammenhang Momentanwert, Scheitelwert, Effektivwert, Gleichwert und Gleichrichtwert einer Wechselgröße
Bei der Berechnung und vor allem bei der Dimensionierung der elektrischen Isolation in Wechselstromkreisen unterscheidet man zwischen dem Momentanwert, dem Scheitelwert und dem Effektivwert, der zugleich der Nennwert ist
u(t), i(t) | zeitabhängiger Momentanwert |
\(\widehat u,\,\,\widehat i\) | Scheitel- bzw. Maximal- bzw. Spitzenwert bzw. Amplitude einer sinusförmigen Wechselgröße |
\(\sqrt 2 \) | Scheitelfaktor, das ist das Verhältnis vom Scheitelwert zum Effektivwert, \(\sqrt 2 \) gilt für Sinusform |
U=UN=Ueff, I=IN=Ieff | Nennwert, bzw. Effektivwert, bzw. quadratischer Mittelwert, schreibweise ohne Index |
\(\overline u,\,\,\overline i\) | Gleichwert von Wechselstromgrößen |
\(\overline {\left| u \right|} ,\,\,\,\left| {\overline i } \right|\) | Gleichrichtwert von Wechselstromgrößen |
Illustration Momentanwert, Scheitelwert, Effektivwert und Nennwert einer Wechselgröße
Ein Stromnetz mit einer Netz-Nennspannung von 230V hat einen Effektivwert von ebenfalls 230V und einen Scheitelwert gemäß \(\widehat u = 230V \cdot \sqrt 2 = 325V\)
Momentanwert einer Wechselgröße
Der Momentanwert einer sinusförmigen Wechselgröße ändert sich kontinuierlich. Der Momentanwert, auch als Augenblickswert veranschaulicht, nimmt im Laufe eine Periode den Wert Null, den positiven Scheitelwert , den Wert Null, den negativen Scheitelwert und wieder den Wert Null an.
- Strom und Spannung als sich zeitlich ändernde Momentanwerte
\(\eqalign{ & i\left( t \right) = \widehat i \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right) \cr & u\left( t \right) = \widehat u \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right) \cr} \) - Strom und Spannung in komplexer Zeigerdarstellung
\(\eqalign{ & \underline i \left( t \right) = \widehat i \cdot \left[ {\cos \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right) + j \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)} \right] = \widehat i \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)}} \cr & \underline u \left( t \right) = \widehat u \cdot \left[ {\cos \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right) + j \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)} \right] = \widehat u \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)}} \cr}\)
Scheitelwert einer Wechselgröße
Der Scheitelwert ist der Maximalwert einer Wechselgröße während einer Halbperiode. Innerhalb einer vollen Periode einer sinusförmigen Wechselgröße tritt er einmal als positiver und einmal als negativer Scheitelwert auf. Um den Scheitelwert, der im Fall einer sinusförmigen Wechselgröße zugleich der Amplitude entspricht, vom Effektivwert unterscheiden zu können, erhält er ein kleines "Dach" über dem Kleinbuchstaben. Für den Scheitelwert werden aber auch Großbuchstaben US, IS verwendet.
\(\begin{array}{l} \widehat i = I \cdot \sqrt 2 = {I_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {I_N} \cdot \sqrt 2 \\ \widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 \\ {U_N} = {U_{eff}} = 230V \leftrightarrow \widehat u = 325V \end{array}\)
Der Effektivwert
Der Effektivwert ist der quadratische Mittelwert des zugrunde liegenden periodischen Signals. Unter dem - zeitlich konstanten - Effektivwerten Ueff, Ieff einer zeitabhängigen Wechselspannung u(t) bzw. Wechselstroms i(t) versteht man das Äquivalent jener Gleichgröße U, I, die an einem ohmschen Widerstand während einer Periode die gleiche Energie umsetzt. Der Effektivwert wird auch quadratischer zeitlicher Mittelwert genannt. Für eine beliebige - nicht notwendiger Weise sinusförmigen - Kurvenform berechnet sich der Effektivwert gemäß der Formel
\(\eqalign{ & {U_{eff}} = \sqrt {\dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {{u^2}\left( t \right)\,\,dt} } \cr & {I_{err}} = \sqrt {\dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {{i^2}\left( t \right)\,\,dt} } \cr} \)
Dabei quadriert man den periodischen Strom, dann bildet man den Mittelwert indem man mit 1/T multipliziert und zieht anschließend die Wurzel.
Die Nennspannung, der Nennstrom
Nennspannung ist eine alternative Bezeichnung für die Effektivspannung. Der Effektivwert Ueff der Wechselspannung im Haushalt beträgt UN=230V.
Tatsächlich werden die Haushalte aber mit Drehstrom versorgt.
- Bei der Nennspannung im Wechselstromnetz, etwa im Haushalt, handelt es sich schaltungstechnisch gesehen um die Spannung von 230 V zwischen einem Außenleiter und dem Sternpunkt eines Drehstromsystems. Die Nennspannung von 230 V (zugleich der Effektivwert) ist im Wechselstromkreis um den Faktor \(\sqrt 2 = 1,4142\) kleiner als die Amplitude (zugleich der Scheitelwert) von 325V der sinusförmigen Wechselgröße im Wechselstromkreis.
- Bei der Nennspannung vom Drehstromnetz handelt es sich schaltungstechnisch gesehen um die Spannung von 400V zwischen zwei Außenleitern des Drehstromnetzes. D.h. die Nennspannung vom Drehstrom ist um das \(\sqrt 3 \)-fache höher als die Nennspannung vom Wechselstrom.
\(\eqalign{ & {U_{eff}} = \dfrac{{\widehat u}}{{\sqrt 2 }} \cr & {I_{eff}} = \dfrac{{\widehat i}}{{\sqrt 2 }} \cr} \)
Gesamteffektivwert von Wechselgrößen bei Überlagerung von n sinusförmigen Schwingungen
Der Gesamteffektivwert von Wechselgrößen bei der Überlagerung von mehreren sinusförmigen Schwingungen, wie sie etwa das Resultat einer Fourier-Entwicklung sind, errechnet sich aus der Wurzel von der Summe der quadrierten Effektivwerte der Grund- und der n Oberschwingungen
\(\eqalign{ & I = \sqrt {{I_1}^2 + {I_2}^2 + ... + {I_k}^2} = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {{I_k}^2} } = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {\dfrac{{{{\widehat i}_k}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} } = \dfrac{{\sqrt {\sum {{{\widehat i}^2}} } }}{{\sqrt 2 }} \cr & U = \sqrt {{U_1}^2 + {U_2}^2 + ... + {U_k}^2} = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {{U_k}^2} } = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {\dfrac{{{{\widehat u}_k}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} } = \dfrac{{\sqrt {\sum {{{\widehat u}^2}} } }}{{\sqrt 2 }} \cr}\)
Gleichwert von Wechselstromgrößen
Der Gleichwert einer Wechselstromgröße errechnet sich aus dem Integral des zeitlichen Verlaufs der Wechselgröße, dividiert durch die Periodendauer T, ist also dessen arithmetischer Mittelwert. Wie für arithmetische Mittelwerte üblich, schreibt man einen kleinen Querstrich über den Kleinbuchstaben. Der Gleichwert einer sinusförmigen Wechselgröße ist Null, da sich die Flächen unterhalb bzw. oberhalb der Zeitachse gegenseitig aufheben. Auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld wirkt eine Kraft, die proportional dem Gleichwert des Stroms ist.
\(\eqalign{ & \overline i = \dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_t^{t + T} {\left| i \right|\,\,dt} \cr & \overline u = \dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_t^{t + T} {u\,\,dt} \cr}\)
Bei einer periodisch schwingenden Wechselgröße mit einem Gleichwert ungleich null handelt es sich um eine Mischgröße, bestehend aus einem Gleichwert und einem Wechselanteil.
Gleichrichtwert von Wechselstromgrößen
Der Gleichrichtwert ist der durch eine Brückenschaltung mit idealen Dioden gleichgerichtete arithmetische Mittelwert einer periodischen Wechselgröße. Es handelt sich um das Integral über die Betragsfunktion der Wechselgröße bezogen auf die Periodendauer.
\(\eqalign{ & \left| {\overline i } \right| = \dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_t^{t + T} {\left| i \right|\,\,dt} \cr & \left| {\overline u } \right| = \dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_t^{t + T} {\left| u \right|\,\,dt} \cr} \)
Illustration eines gleichgerichteten Wechselstroms
Illustration eines gleichgerichteten Wechselstroms, dessen negative Anteile unter der t-Achse zufolge einer Gleichrichter-Diodenschaltung in den positiven Wertebereich oberhalb der t-Achse geklappt wurden.
Bilddatei
Die durch den digitalen Signalprozessor als Rohdaten vorliegenden Bildinformationen müssen gespeichert werden. Einerseits werden die Rohdaten kameraintern durch einen Rohdatenkonverter in JPEG Daten umgewandelt, andererseits als Rohdaten abgelegt. Dafür haben sich folgende Dateiformate etabliert:
Camera-RAW-Datei mit 14 Bit je Farbkanal
Wie wir gesehen haben, spielen bislang Kameraeinstellungen, wie etwa der Weißabglich, keine Rolle für die Helligkeits-Zahlenwertdarstellung jedes Pixels. Diese Einstellungen werden lediglich zusätzlich in den Metadaten abgelegt, damit der RAW-Konverter schon mal einen guten Startwert für die Umrechnung der RAW-Daten in die Daten des visualisierten Farbbildes hat.
Camera-RAW-Dateien sind verlustfrei komprimierte, sensorspezifische Dateiformate mit 14 Bit je Farbkanal, somit (16.385*16.386*16.385=) 4 Billionen Farbtöne. So gibt es bei Canon etwa das .CR2 und das neuere .CR3 Dateiformat. In einer RAW-Datei werden die Daten des Sensors unbearbeitet und unkomprimiert abgelegt. Die RAW-Dateien von unterschiedlichen Kameramodellen eines Herstellers können unterschiedlich aufgebaut sein, auch wenn sie die gleiche Dateiendung, etwa CR2 haben. RAW-Dateien sind ca. 3-Mal größer als JPEG oder HEIF-Dateien in höchster Qualität, bieten aber maximale Bearbeitungsflexibilität.
Viele Kameras, speziell solche in Smartphones, haben einen RAW-Konverter eingebaut und speichern die Fotos zusätzlich oder sogar ausschließlich im verlustbehafteten JPEG-Format ab.
Im Rahmen der Bildbearbeitung am Computer wird die Camera-RAW-Datei von einem sogenannten RAW-Konverter ausgelesen und in ein bearbeitbares Bild umgewandelt. Dafür ist es erforderlich, dass der RAW-Konverter auch genau das erforderliche Kameramodell unterstützt. Nach der manuellen Bildbearbeitung, bei der Fehlbelichtungen von bis zu 2 Blendenstufen korrigiert werden können, wird eine neue Datei mit dem bearbeiteten Bild z.B. im .DNG, .PSD oder .JPG Format zur späteren Ansicht am Monitor oder zum Ausdruck abgespeichert.
HEIF-Datei mit 10 Bit je Farbkanal
Das leicht verlustbehaftete komprimierte High Efficiency Image File Format wurde von der Moving Picture Experts Group entwickelt und zunächst von Apple als Nachfolger des JEPG Formats genutzt und bietet 10 Bit je Farbkanal, somit (1.024*1.024*1.024=) 1,07 Milliarden Farbtöne. Beinhalten also 4-Mal mehr Farbtoninformation als eine JPEG-Datei bei gleicher Dateigröße, da sie eine effizientere „High Efficiency“ Komprimierung bieten. HEIF-Dateien sind Containter in denen ein Eizelbild, eine Fotoserie, aber auch Metadaten gespeichert sind und unterstützt auch Transparenz. Der größte Nachteil von HEIF ist, dass es von Browsern und Druckern nicht unterstützt wird. Auf Windows 10 PCs muss man die kostenpflichtige (1€) HEVC Videoerweiterung aus dem Microsoft Store herunterladen.
JPEG-Datei mit 8 Bit je Farbkanal
Das Joint Photographic Experts Group File Format ist das wohl am weitesten verbreitete Format für Fotos da es jeder Webbrowser darstellen kann und bietet 8 Bit je Farbkanal, somit (256*256*256=) 16,8 Millionen Farbtöne. Die Speicherung der Aufnahmedaten erfolgt komprimiert, verlustbehaftet und beinhaltet alle allfälligen Bildbearbeitungseinstellungen wie zB den Weißabgleich, die nicht mehr rückgängig gemacht werden können. Die Dateigrößen sind klein und lassen sich leicht betrachten aber nur eingeschränkt nachbearbeiten.
Reihen- bzw. Serienschaltung von Widerständen
Eine Reihen- bzw. Serienschaltung von Widerständen liegt dann vor, wenn alle Widerstände ohne Verzweigung hinter einander, also am selben Pfad, geschaltet sind und daher vom gleichen Strom durchflossen werden.
Bei der Reihenschaltung von Widerständen
- ist der Gesamtwiderstand R gleich der Summe der Einzelwiderstände Ri
\({R_{ges}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{R_i}} \) - fließt durch alle Widerstände der selbe Strom I
- ergibt die Summe aller Teilspannungen Ui wieder die angelegte Gesamtspannung Uges
\({{\text{U}}_{ges}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{U_i}} \)
Illustration von in Serie geschalteten ohmschen Widerständen
Spannungsteiler
Eine Serienschaltung von Widerständen stellt zugleich eine Spannungsteilerschaltung dar. Alle Widerstände werden vom gleichen Strom durchflossen. Für so eine Schaltung lassen sich 2 Regeln für das Verhältnis von Spannungen zum Verhältnis von Widerständen formulieren
- 1. Spannungsteiler-Regel: Das Verhältnis jeder Teilspannung Ui zur Gesamtspannung U entspricht dem Verhältnis vom jeweiligen Einzelwiderstand Ri zum Gesamtwiderstand R
\(\dfrac{{{U_i}}}{U} = \dfrac{{{R_i}}}{R}{\text{ mit i = 1}},...,{\text{n}}\)
- 2. Spannungsteiler-Regel: Das Verhältnis zweier beliebiger Teilspannungen Ui und Uk entspricht dem Verhältnis der jeweiligen Einzelwiderstände Ri und Rk
\(\dfrac{{{U_i}}}{{{U_k}}} = \dfrac{{{R_i}}}{{{R_k}}}{\text{ mit i}}{\text{, k = 1}},...,{\text{n}}\)
Mechanische Leistung P
Die mechanische Leistung entspricht der verrichteten Arbeit pro Zeit bzw. der aufgewendeten Energie pro Zeit. Leistung = Arbeit pro Zeit bzw. Energie pro Zeit. Eine veraltete Einheit für die Leistung ist das PS (die Pferdestärke), wobei 1kW=1,36 PS bzw. 1 PS = 0,735 kW
\(P = \dfrac{W}{t} = \dfrac{E}{t}\)
Der Mensch kann eine Dauerleistung von 100 W erbringen, das entspricht der Leistungsaufnahme einer leistungsstarken Glühbirne im Haushalt.
Watt W
Watt W ist die Einheit der Leistung P. Das Watt ist ein Maß für die Änderung von Energie bzw. Arbeit pro Zeitintervall.
\(1 \cdot W = 1 \cdot \dfrac{J}{s} = 1 \cdot V \cdot A\)
\({\text{Einheit: }}1W = 1\dfrac{J}{s} = 1N \cdot \dfrac{m}{s} = 1\dfrac{{kg \cdot {m^2}}}{{{s^3}}}\)
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Kirchhoffsches Strahlungsgesetz
Das kirchhoffsche Strahlungsgesetz stellt den Zusammenhang zwischen Emission und Absorption eines Temperaturstrahlers im thermischen Gleichgewichts her. Für jeden Körper ist bei jeder Wellenlänge das Emissions- und das Absorptionsvermögen proportional. Das Absorptionsverhältnis \(\alpha\) hängt von der Oberflächenbeschaffenheit des Körpers, der Einstrahlrichtung sowie von der Temperatur und der Wellenlänge ab.
\(\varepsilon \left( {\lambda ,T} \right) = \alpha \left( {\lambda ,T} \right)\)
\(\varepsilon\) … Emissionsverhältnis
\(\alpha\) … Absorptionsverhältnis
Aus dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik \(\Delta S = \dfrac{{\Delta {Q_{eversibel}}}}{T}\) bzw. \(\Delta S > \dfrac{{\Delta {Q_{irreversibel}}}}{T}\) folgert , dass bei gegebener Wellenlänge und gegebener Temperatur die absorbierte Energie im gleichen Maße auch wieder emittiert werden muss. Ein Körper nimmt also im gleichen Ausmaß Wärmestrahlung auf, wie er sie auch wieder abgibt. Ein Körper absorbiert so gut wie er strahlt.
Wenn ein Körper Strahlung absorbiert, dann erhöht sich seine Temperatur. Zufolge der Temperaturerhöhung steigt auch die Emission, bis ein Strahlungsgleichgewicht erreicht wird. Käme es nicht zu einem Strahlungsgleichgewicht, hätte der Körper irgendwann zufolge der Emission eine negative Energie bzw. zufolge der Absorption eine unendlich hohe Energie, was beides unmöglich ist.
Für einen schwarzen Körper gilt: Er absorbiert bei jeder Wellenlänge die auftreffende Strahlung vollständig. Sein Emissionsvermögen ist bei jeder Wellenlänge maximal und hängt von keinen Materialeigenschaften ab, sonder ausschließlich von der Temperatur. Man kann so aus der Emission eines fernen Sterns auf dessen Temperatur schließen.
Grundschwingungsgehalt von Wechselstromgrößen
Der Grundschwingungsgehalt g einer Wechselstromgröße ist der Quotient des Effektivwerts der Grundschwingung I1 bzw. U1 zum Gesamteffektivwert. Er ist ein Maß für die Dominanz der Grundschwingung (n=1) zum Gesamteffektivwert aller Schwingungen \((n = 1..\infty)\)
\(\eqalign{ & {g_I} = \dfrac{{{I_1}}}{I} = \dfrac{{{I_1}}}{{\sqrt {{I_1}^2 + {I_2}^2 + ... + {I_k}^2} }} \cr & {g_U} = \dfrac{{{U_1}}}{U} = \dfrac{{{U_1}}}{{\sqrt {{U_1}^2 + {U_2}^2 + ... + {U_k}^2} }} \cr}\)
Oberschwingungen
Unter Oberschwingungen einer periodischen Wechselgröße versteht man Schwingungen mit einem ganzzahligen Vielfachen der Frequenz der zugrunde liegenden Grundschwingung. Die Grundschwingung (n=1) und ihre Oberschwingungen \(n = 2..\infty \) addieren sich zu einer mehr oder weniger verzerrten Gesamtschwingung.
Oberschwingungsgehalt
Der Oberschwingungsgehalt oder Klirrfaktor ist definiert als der Quotient der Effektivwerts aller Oberschwingungen (somit \(n = 2..\infty \) )zum Gesamteffektivwert aller Schwingungen (\(n = 1..\infty \)).
\({k_I} = \dfrac{{\sqrt {\sum\limits_{n = 2}^\infty {{I_n}^2} } }}{{\sqrt {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{I_n}^2} } }}\)
\({k_U} = \dfrac{{\sqrt {\sum\limits_{n = 2}^\infty {{U_n}^2} } }}{{\sqrt {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{U_n}^2} } }}\)
Der Klirrfaktor ist ein Maß für die Abweichung der Wechselgröße i(t), u(t) von der idealen Sinusform. Er ist für eine reine Sinusgröße daher Null.
Beziehung Grundschwingungsgehalt zum Oberschwingungsgehalt
Die Beziehung Grundschwingungsgehalt g zum Oberschwingungsgehalt k lautet: Die Summe der jeweiligen Quadrate aus Grund- und Oberschwingungsgehalt ist gleich 1
\({k^2} + {g^2} = 1\)
bzw.:
\(\eqalign{ & {k_I} = \sqrt {1 - {g_i}^2} \cr & {k_U} = \sqrt {1 - {g_U}^2} \cr}\)
Illustration einer Grundschwingung und zweier Oberschwingungen und der Summenschwingung.
In elektrischen Energienetzen sind nur ungerade-ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz von praktischer Bedeutung. Sie entstehen durch Rückwirkungen von Transformatoren, durch Verbraucher (Phasenanschnittsteuerungen, Gleichrichter) oder den Wechselrichtern von Fotovoltaikanlagen, auf die durch die Synchrongeneratoren erzeugte 50 Hz (USA 60 HZ) Grundschwingung
Klirrfaktor einer einzelnen Teilschwingung
Der Klirrfaktor ist ein Maß für die Abweichung einer Wechselgröße von der idealen Sinusform. Der Klirrfaktor einer einzelnen Teilschwingung ist definiert als Quotient des Effektivwerts der n-ten Oberschwingung zum Gesamteffektivwert aller Schwingungen (\(n = 1..\infty \)).
\(\eqalign{ & {k_n} = \dfrac{{{I_n}}}{I} = \dfrac{{{I_n}}}{{\sqrt {{I_1}^2 + {I_2}^2 + ... + {I_n}^2} }} \cr & {k_n} = \dfrac{{{U_n}}}{U} = \dfrac{{{U_n}}}{{\sqrt {{U_1}^2 + {U_2}^2 + ... + {U_n}^2} }} \cr}\)
In dieser Mikro-Lerneinheit lernst du die wesentlichen physikalischen Größen sowie die Grundgleichungen der Elektrodynamik kennen, ohne dass wir auf deren Herleitung (Uni-Niveau) eingehen.
Diese Lerneinheit ist mathematisch anspruchsvoll, da zeitlich veränderliche Felder mittels Werkzeuge wie Rotor und Divergenz aus der Vektor-Differentialgeometrie behandelt werden. Du solltest daher mit den Mikro-Lerneinheiten zur Vektoranalysis, der Elektrostatik und der Magnetostatik vertraut sein, ehe du die Miko-Lerneinheit Elektrodynamik beginnst.
Zunächst gehen wir auf weitere Grundlagen der Elektrodynamik wie die Lenzschen Regel, die Urspannung, das Faradaysche Induktionsgesetz, das 1. Amperesche Gesetz bzw. die Lorenzkraft auf bewegte Ladungen, sowie auf das 2. Amperesche Gesetz – das Durchflutungsgesetz – ein. Wir stellen den elektrischen Hüllenfluss und den magnetischen Hüllenfluss vor, bei denen der gaußsche Integralsatz zur Anwendung kommt.
Wir lernen die Polarisierung und die Magnetisierung kennen und beschäftigen uns mittels der 4 Maxwellgleichungen mit elektrischen und magnetischen Feldern, sowohl im stationären als auch im sich zeitlich rasch ändernden Zustand. Mit Hilfe der Integralsätze von Stokes und Gauß können die 4 Maxwellgleichungen aus der Integralform in die Differentialform gebracht werden.
Zuletzt gehen wir auf die Wellengleichung der elektromagnetischen Welle ein und geben einen Überblick über die über die Elektrodynamik hinausgehende Bedeutung der Maxwell Gleichungen.
Elektrodynamik
Erforderliches Vorwissen zum Verständnis der 4 maxwellschen Gleichungen
Nachfolgend fassen wir einige Regeln zu elektromagnetischen Feldern zusammen, die Maxwell zu den nach ihm benannten Gleichungen veranlasst haben
Lentzsche Regel
Die induzierte Feldstärke ist immer so gerichtet, dass das Magnetfeld eines in einer gedachten Leiterschleife fließenden Stroms, dem erzeugenden Magnetfeld im Eisenkern entgegen gerichtet ist. Die am Ort der Leiterschleife vorhandene elektrische Wirbelfeldstärke \(\overrightarrow E\) ist eingeprägt - sie wird nicht von der Leiterschleife kurzgeschlossen. Die lentzsche Regel liefert die Ursache für das negative Vorzeichen in der 3. maxwellschen Gleichung.
\(\mathop {{U_e}}\limits^o = \oint\limits_s {\overrightarrow E \,\,d\overrightarrow s } = - \dfrac{{d\Phi }}{{dt}} = - \dfrac{d}{{dt}}\int\limits_A {\overrightarrow B \,\,d\overrightarrow A = - \int\limits_A {\dfrac{{d\overrightarrow B }}{{dt}}\,\,d\overrightarrow A } } \)
Urspannung oder Quellenspannung
Bei der Urspannung handelt es sich um die in die Wicklungen von elektrischen Maschinen induzierte Spannung, die früher auch EMK „Elektromotorische Kraft“ genannt wurde.
- Die Urspannung ist die in den Wicklungen der Maschine induzierte Spannung, die an den Klemmen einer elektrischen Maschine anliegt, ohne Einfluss eines Stromflusses über deren Innenwiderstände.
- Die Klemmenspannung ist die Spannung, die an den Klemmen einer elektrischen Maschine anliegt, wenn sie belastet ist. Sie ist also die Spannung, die ein Generator an die Verbraucher im Netz liefert oder die externe Netzspannung, die ein Motor benötigt, damit der die Nennleistung erbringt.
Der veraltete Begriff EMK erklärt sich damit, dass die EMK mit dem Kehrwert der Ladung proportional zur coulombschen Kraft ist. Die EMK entspricht der Fähigkeit eines Systems, eine Spannung – die „Urspannung“ mit der Einheit Volt (V) - zu erzeugen.
Die Urspannung entsteht, wenn es zu einer Änderung des magnetischen Flusses durch eine Leiterschleife kommt. Dies kann auf 2 Arten geschehen:
- Bewegungsinduktion: Die magnetische Flussdichte B ist konstant, und die Spule bewegt sich darin
- Ruheinduktion: Die Spule ruht, und die magnetische Flussdichte B ändert sich zeitlich
Bildet man aus der Gleichung für die Lorentzkraft auf bewegte Ladungen
\(\overrightarrow {{F_L}} = Q \cdot \left( {\overrightarrow v \times \overrightarrow B } \right)\)
den Quotient aus Lorentzkraft und Ladung, so erhält man die elektrische Feldstärke Eb, wobei der Index „b“ für „bewegte Ladung“ steht.
\(\overrightarrow {{E_b}} = \dfrac{{\overrightarrow {{F_L}} }}{Q} = \overrightarrow v \times \overrightarrow B \)
Bewegungsinduktion eib - Spule bewegt sich
Durch die Bewegung der Spule in einem Magnetfeld B wird, zufolge der auf die beweglichen Ladungsträger des Leiters ausgeübte Lorentzkraft, eine Urspannung induziert. Das Linienintegral zwischen 2 Klemmen einer Leiterschleife heißt „induzierte Urspannung zufolge der Bewegung“. Sie entsteht, wenn das Magnetfeld B konstant bleibt, und sich darin eine Spule bewegt
\({e_{ib,12}} = \int\limits_1^2 {{E_b}\,ds} = \int\limits_1^2 {\left( {\overrightarrow v \times \overrightarrow B } \right)} \,\,ds\)
Ruheinduktion eir - Spule ruht
Durch die zeitliche Änderung des magnetischen Feldes B entsteht im ganzen umgebenden Raum ein elektrisches Wirbelfeld, wodurch eine Urspannung in die ruhende Spule induziert wird. Das Flächenintegral über alle durch die Änderung der magnetischen Flussdichte B gemäß der 2. maxwellschen Gleichung verursachten Wirbel des elektrischen Feldes E ergibt:
\({e_{ir}} = \int\limits_A {rot\overrightarrow E \cdot d\overrightarrow A } = - \int\limits_A {\dfrac{{\partial \overrightarrow B }}{{\partial t}}} \,d\overrightarrow A \)
Faradaysches Induktionsgesetz
Das faradaysche Induktionsgesetz besagt, dass jede Änderung des magnetischen Flusses \(\Phi\) durch eine verkettete Leiterschleife, egal ob diese durch die Bewegung einer Spule im Magnetfeld (Bewegungsinduktion) oder zufolge einer zeitlichen Änderung des Magnetfeldes (Ruheinduktion) verursacht ist, eine elektromotorische Kraft (EMK) bewirkt, und somit eine Urspannung induziert.
Das Faradaysche Induktionsgesetz beschreibt, wie ein sich änderndes magnetisches Feld einen elektrischen Strom in einem Leiter erzeugt und gehört daher in den Bereich der Elektrodynamik. Das „Minuszeichen“ ergibt sich zufolge der lentzschen Regel.
\({u_i} = {u_{ib}} + {u_{ir}} = - \int\limits_A {\dfrac{{d\overrightarrow B }}{{dt}}} \,d\overrightarrow A + \int\limits_1^2 {\left( {\overrightarrow v \times \overrightarrow B } \right)} \,\,ds = - \dfrac{{d\Phi }}{{dt}} = \oint\limits_A {\overrightarrow E } \,\,d\overrightarrow s \)
Es kommt dabei nicht darauf an, ob sich der mit der Spule verkettete Fluss zufolge der Bewegung der Spule oder zufolge der Änderung des magnetischen Flusses ändert.
Die Induktionswirkung kommt zustande, weil ein sich zeitlich ändernder magnetische Fluss \(\dfrac{{d\Phi }}{{dt}}\) von einem elektrischen Wirbelfeld \(\overrightarrow E\) mit geschlossenen Feldlinien umgeben ist. Die induzierte elektrische Spannung Ui ist der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses \(\Phi\) proportional und somit ein Maß für die Stärke der Wirbel des magnetischen Feldes, also von \(\Phi\) oder \(\overrightarrow B\) Feldlinien im Eisenkreis.
1. Ampere’sches Gesetz bzw. Lorentzkraft auf bewegte Ladungen
Fließt ein Gleichstrom durch einen von 2 parallelen Leitern, so umgibt ein Magnetfeld B diesen Leiter. Dieses Magnetfeld übt auf den zweiten, von keinem Strom durchflossenen Leiter keine Kraft aus, weil dessen Ladungen ruhen.
Fließt aber zusätzlich auch durch den 2. Leiter ein Gleichstrom, und bewegen sich daher dessen Ladungen, dann geht vom Magnetfeld des 1. Leiters eine Lorentzkraft auf diese bewegten Ladungen aus.
Bei gleichorientiertem Stromfluss ziehen sich die beiden Leiter an, bei entgegengesetztem Stromfluss stoßen sie sich gegenseitig mit der Kraft F ab.
Beispiel:
Fließen die Gleichströme I1=I2 der Stärke 1A durch 2 gerade, parallele Drähte, die einen Abstand von 1m zueinander haben, so bewirkt das Magnetfeld B1 zufolge des Stromflusses I1 eine Lorentzkraft F2 an der Stelle vom 2. Leiter von 2·10-7 N/m.
\({F_2} = l \cdot {I_2} \cdot {B_1} = {\mu _0} \cdot \dfrac{{{I_1} \cdot {I_2}}}{{2\pi r}} \cdot l\) zufolge des Magnetfeldes \({B_1} = \dfrac{{{\mu _0} \cdot {I_1}}}{{2\pi \cdot r}}\)
Die Lorentzkraft stellt einen Zusammenhang zwischen einem magnetischen Feld und einer Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter bzw. dessen bewegte Ladungen dar. Die Lorentzkraft wirkt auf bewegte Ladungen im Magnetfeld und ist daher ein Phänomen der Elektrodynamik
Die Lorentzkraft wirkt senkrecht zur Bewegungsrichtung des geladenen Teilchens und senkrecht zur Richtung vom Magnetfeld. Die Lorentzkraft führt dazu, dass sich Elektronen in einem Magnetfeld auf gekrümmten Bahnen bewegen. In einem Elektromotor ist es die Lorentzkraft, die dafür sorgt, dass sich der Anker unter der Einwirkung des, von den Wicklungen im Stator ausgehenden, Magnetfelds dreht.
Lorentzkraft auf punktförmiges geladenes Teilchen
Befindet sich ein geladenes Teilchen in einem Magnetfeld, so wirkt die Lorentzkraft auf das Teilchen.
\(\overrightarrow {{F_L}} = Q \cdot \left( {\overrightarrow v \times \overrightarrow B } \right)\)
Mit FL als Lorentzkraft in N, Q als Ladung des Teilchens in C, v der Geschwindigkeit des Teilchens in m/s und B der magnetischen Flussdichte in T.
Lorentzkraft auf inkrementell kurzes Leiterstück ds
Befindet sich ein stromdurchflossener Leiterdraht in einem Magnetfeld, so ist die Höhe der Lorentzkraft FL proportional zur Stromstärke i die durch den Leiter fließt, zur Länge s des stromdurchflossenen Leiters und zur magnetischen Flussdichte B, welche die Stärke des Magnetfeldes an einem bestimmten Punkt und in eine bestimmte Richtung beschreibt.
\(d\overrightarrow F = i \cdot \left( {d\overrightarrow s \times \overrightarrow B } \right)\)
Lorentzkraft auf Leiter der Länge l
Für die gesamte Länge des Leiters aufintegriert ergibt sich wie folgt, wobei falls B senkrecht auf l steht, wie folgt vereinfacht werden kann:
\(\overrightarrow {{F_L}} = i \cdot \int\limits_0^l {\left( {d\overrightarrow s \times \overrightarrow B } \right)} = i \cdot \left( {\overrightarrow l \times \overrightarrow B } \right)\)
Durchflutungsgesetz, auch amperescher Durchflutungssatz bzw. 2. amperesches Gesetz
Der Durchflutungssatz besagt, dass in einem magnetischen Feld das Linienintegral über die magnetische Feldstärke H entlang einer in sich geschlossenen Feldlinie \(\oint\limits_s {\overrightarrow H } \,\,d\overrightarrow s \)
- stets gleich dem gesamten elektrischen Strom ist, der durch die von dieser Feldlinie gebildeten Fläche hindurchtritt \( \sum\limits_k {{I_k}} \)
- gleich – und nicht lediglich proportional - ist, der magnetischen Durchflutung Theta \(\Theta = {U_m}\)
Der Durchflutungssatz besagt, dass geschlossene magnetische Feldlinien von einem Strom durchflossen bzw. „durchflutet“ werden, bzw. umgekehrt formuliert, dass ein elektrischer Strom von geschlossenen magnetischen Feldlinien umgeben ist.
So wie im elektrischen Feld die elektrische Spannung durch Feldstärke mal Weg definiert ist, führt man auch im magnetischen Feld eine magnetische Spannung Um ein. Sie ist ein Skalar mit der Einheit Ampere (A). Die Einheit der magnetischen Durchflutung ist das Ampere (A)
\(\Theta = {U_m} = \oint\limits_s {\overrightarrow H } \,\,d\overrightarrow s = \int\limits_A {\overrightarrow S \,\,d\overrightarrow A } = \sum\limits_k {{I_k}} \)
Multipliziert man obige Gleichung mit der magnetischen Feldkonstanten im Vakuum, erhält man
\({\mu _0} \cdot \Theta = \oint\limits_s {\overrightarrow B } \,\,d\overrightarrow s = {\mu _0} \cdot \int\limits_A {\overrightarrow S \,\,d\overrightarrow A } \)
Es ist also das Linienintegral der magnetischen Flussdichte B, entlang eines geschlossenen Weges s (etwa der Windung einer Spule), proportional (mit der magnetischen Feldkonstanten bzw. der magnetischen Permeabilität) der durch die Fläche, deren Randkurve der gewählte geschlossene Weg ist, hindurchfließende, somit „durchflutende“ Gesamtstromstärke.
Anmerkung: S=J .. elektrische Stromdichte S (oft auch mit J bezeichnet - wir verwenden J jedoch für die magnetische Polarisation), ist der Quotient aus Stromstärke I und Leiterquerschnittsfläche A
Das amperesche Durchflutungsgesetz mit dem Maxwell-Ergänzungsterm – also die 4. Maxwellgleichung - besagt, dass die magnetische Feldstärke proportional zur elektrischen Stromdichte und der Änderung des elektrischen Feldes ist.
\(rot\vec H = \overrightarrow {{S_L}} + \dfrac{{d\vec D}}{{dt}}\)
Magnetische Durchflutung einer Spule mit n Windungen
\(\Theta = n \cdot I\)
Elektrischer Hüllenfluss
Der Satz vom elektrischen Hüllenfluss besagt, dass der durch eine Fläche austretende Fluss, gleich der im Volumen eingeschlossenen Ladung ist.
\(\mathop \psi \limits^o = \oint\limits_A {\overrightarrow D } \,\,d\overrightarrow A = \int\limits_V {\operatorname{div} \overrightarrow D \,\,dV} = \int \varphi \,\,dV = \sum\limits_{k = 1}^n {{Q_k}} \)
In obiger Gleichung kommt der gaußsche Integralsatz zur Anwendung.
Magnetischer Hüllenfluss
Der Satz vom magnetischen Hüllenfluss besagt, dass der durch eine Fläche austretende magnetische Fluss, auf Grund der Quellenfreiheit magnetischer Felder stets gleich Null sein muss.
\(\mathop \Phi \limits^o = \oint\limits_A {\overrightarrow B \,\,d\overrightarrow A } = \int\limits_V {\operatorname{div} \overrightarrow B \,\,dV} = 0\)
In obiger Gleichung kommt der gaußsche Integralsatz zur Anwendung.
Elektrodynamik
Die Elektrodynamik ist eine Feldtheorie für das elektrische und das magnetische Feld, wobei zu jedem Zeitpunkt t und an jedem Raumpunkt \(\overrightarrow x\) je ein Vektor \(\overrightarrow D \, - \,\overrightarrow E \, - \,\overrightarrow B \, - \,\overrightarrow H \) definiert ist. Die 4 maxwellschen Gleichungen bilden die Basis der Theorie des elektromagnetischen Feldes.
Die Elektrodynamik beschreibt einen von den 4 vektoriellen Feldgrößen \(\overrightarrow D \, - \,\overrightarrow E \, - \,\overrightarrow B \, - \,\overrightarrow H \) erfüllten Raum.
elektrisches Feld, beschrieben durch die elektrische Feldstärke und die elektrische Flussdichte
\(\vec E\left( {\vec x,t} \right){\mkern 1mu} {\text{ in }}\dfrac{{\text{V}}}{{\text{m}}}{\text{ bzw}}{\text{. }}\vec D\left( {\vec x,t} \right){\text{ in }}\dfrac{{\text{C}}}{{{{\text{m}}^{\text{2}}}}}\)
magnetisches Feld, beschrieben durch die magnetische Feldstärke und die magnetische Flussdichte
\(\vec H\left( {\vec x,t} \right){\text{ in }}\dfrac{{\text{A}}}{{\text{m}}}{\text{ bzw}}{\text{. }}\vec B\left( {\vec x,t} \right){\text{ in T}}\)
Verknüpfungsbeziehungen zwischen Flussdichten und Feldstärken
im stationären Feld:
\(\eqalign{ & \overrightarrow D = {\varepsilon _0} \cdot \overrightarrow E + \overrightarrow P \cr & \overrightarrow B = {\mu _0} \cdot \overrightarrow H + {\mu _0} \cdot \overrightarrow M = {\mu _0} \cdot \overrightarrow H + \overrightarrow J \cr} \)
im sich zeitlich rasch verändernden Feld:
\(\eqalign{ & \overrightarrow D = \varepsilon \cdot \overrightarrow E \cr & \overrightarrow B = \mu \cdot \overrightarrow H \cr} \)
Flussdichten: Mit \(\overrightarrow D {\text{ und }}\overrightarrow B \) stehen auf der linken Seite der Gleichung Flussdichten. Bei gegebener Flussdichte ist die Feldstärke umso größer, je kleiner die entsprechende Leitfähigkeit ist.
Feldstärken: Mit \(\overrightarrow E {\text{ und }}\overrightarrow H \) stehen auf der rechten Seite der Gleichungen Feldstärken. Bei gegebener Feldstärke ist die Flussdichte umso größer, je höher die entsprechende Leitfähigkeit ist.
Während \(\overrightarrow E {\text{ und }}\overrightarrow B \) ein Maß für die Stärke des Feldes (Intensitätsgröße) sind, ist die dielektrische Verschiebung \(\overrightarrow D \) bzw. die magnetische Erregung \(\overrightarrow H \) ein Maß für das Ausmaß der Wirkung des Feldes (Quantitätsgröße) auf ein konkretes Medium.
3 Materialgleichungen
Die 4 Feldgrößen \(\overrightarrow D \, - \,\overrightarrow E \, - \,\overrightarrow B \, - \,\overrightarrow H \) sind durch 3 Materialgleichungen mittels elektrischer bzw. magnetischer Feldkonstante und mittels der elektrischen Leitfähigkeit mit einander verknüpft:
\(\overrightarrow S = \kappa \cdot \overrightarrow E\) …\(\kappa\) = Konduktivität = elektrische Leitfähigkeit ("Kappa") \(\left[ \kappa \right] = \dfrac{A}{{Vm}}\)
\(\overrightarrow B = \mu \cdot \overrightarrow H\) … \(\mu\) = Permeabilität = magnetische Feldkonstante ("Mü") \(\left[ \mu \right] = \dfrac{{Vs}}{{Am}}\)
\(\overrightarrow D = \varepsilon \cdot \overrightarrow E\) … \(\varepsilon\) = Permittivität = elektrische Feldkonstante ("Epsilon") \(\left[ \varepsilon \right] = \dfrac{C}{{Vm}}\)
Ohmsches Gesetz des stationären Strömungsfeldes
\(\overrightarrow S = \kappa \cdot \overrightarrow E \)
Anmerkung: Die elektrische Stromdichte S wird auch oft mit J bezeichnet. Wir verwenden J aber für die magnetische Polarisation.
Die elektrische Stromdichte S ist der Quotient aus Stromstärke I und Leiterquerschnittsfläche A
\(\left[ S \right] = \dfrac{{\left[ {\text{I}} \right]}}{{\left[ {\text{A}} \right]}}{\text{ = }}\dfrac{{\text{A}}}{{{{\text{m}}^{\text{2}}}}}\)
Die elektrische Leitfähigkeit ("Kappa") \(\left[ \kappa \right] = \dfrac{{\text{A}}}{{{\text{Vm}}}}\) repräsentiert die "Reibung" der bewegten Ladungsträger am Ionengitter des Leitermaterials.
Polarisation und Magnetisierung
Elektrische Polarisation P
Unter elektrischer Polarisation versteht man eine Ladungsverschiebung in einem nichtleitenden Material, welche durch ein äußeres elektrisches Feld verursacht wird.
Anmerkung: Influenz hingegen bedeutet Ladungsverschiebung in einem leitenden Material durch ein äußeres elektrisches Feld.
\(\vec P\left( {\vec x,t} \right){\text{ in }}\dfrac{{\text{C}}}{{{{\text{m}}^{\text{2}}}}} = \dfrac{{{\text{A}} \cdot {\text{s}}}}{{{{\text{m}}^{\text{2}}}}}\)
\(\eqalign{ & \overrightarrow P = {\chi _{el}} \cdot {\varepsilon _0} \cdot \overrightarrow E \cr & \overrightarrow D = {\varepsilon _0} \cdot \overrightarrow E + \overrightarrow P \cr} \)
Mit \({\chi _{el}}\) (sprich „Chi“) als elektrische Suszeptibilität, einer dimensionslosen Materialkonstante, die angibt, wie stark sich ein Material unter dem Einfluss eines äußeren elektrischen Feldes polarisiert.
Magnetische Polarisation J
Unter magnetischer Polarisation versteht man die Ausrichtung von magnetischen Dipolen bzw. magnetischen Momenten in einem Material, welche durch ein äußeres magnetisches Feld verursacht wird. Magnetische Momente können parallel oder antiparallel zum äußeren Magnetfeld ausgerichtet sein. Ohne magnetische Polarisation gäbe es keine Magnetisierung.
\(\vec J\left( {\vec x,t} \right){\text{ in T bzw}}{\text{. }}\dfrac{{{\text{V}} \cdot {\text{s}}}}{{{{\text{m}}^{\text{2}}}}}{\text{ bzw}}{\text{. }}\dfrac{{{\text{Wb}}}}{{{{\text{m}}^{\text{2}}}}}\)
\(\eqalign{ & \overrightarrow B = {\mu _0}\overrightarrow H + {\mu _0}\overrightarrow M = {\mu _0}\overrightarrow H + \overrightarrow J \cr & \overrightarrow J = {\mu _0}\overrightarrow M \cr} \)
Magnetisierung M
Die Magnetisierung beschreibt die Entstehung eines makroskopischen Magnetfeldes zufolge des Umlaufs und der Rotation (Spin) von Elektronen auf ihren Elektronenbahnen. Sie ist ein Maß für die Stärke des magnetischen Feldes, welches durch magnetische Momente erzeugt wird.
\(\vec M\left( {\vec x,t} \right){\text{ in }}\dfrac{{\text{A}}}{{\text{m}}}\)
\(\overrightarrow M = {\chi _{mag}} \cdot \overrightarrow H \)
Mit \({\chi _{mag}}\) (sprich „Chi“) als magnetische Suszeptibilität, die angibt, wie das Verhältnis von Magnetisierung zur magnetischen Feldstärke ist. Ihre Einheit ist m³/kg. Die magnetische Suszeptibilität kann je nach Material positiv (magnetische Momente verstärken das äußere Magnetfeld), negativ oder null sein.
Stokesscher Satz und Gaußscher Satz
Mit Hilfe der Integralsätze von Stokes und Gauß können die 4 Maxwellgleichungen aus der Integralform in die Differentialform gebracht werden.
Satz von Stokes - Stokesscher Integralsatz
Der stokessche Integralsatz erleichtert die Integration, indem er ein Flächenintegral auf ein Linienintegral zurückführt.
Der Satz von Stokes besagt, dass das Integral über den Rotor eines Vektorfeldes über eine geschlossene Fläche A, gleich dem Linienintegral des Vektorfeldes über die Randkurve K der Fläche ist.
\(\begin{array}{*{20}{l}} {\int\limits_A {\left( {\vec \nabla \times \vec E} \right)} \cdot d\vec A = \oint\limits_{\partial A} {\vec E \cdot d\vec s} }\\ {\int\limits_A {\left( {\vec \nabla \times \vec H} \right)} \cdot d\vec A = \oint\limits_{\partial A} {\vec H \cdot d\vec s} } \end{array}\)
Satz von Gauß - Gaußscher Integralsatz
Der gaußsche Integralsatz erleichtert die Integration, da er ein Volumenintegral auf ein Flächenintegral zurückführt.
Der Satz von Gauß besagt, dass das Integral über die Divergenz eines Vektorfeldes innerhalb eines Volumen V, gleich dem Oberflächenintegral des Vektorfeldes über die Oberfläche A des betrachteten Volumens ist.
Allgemein bezeichnet man ein Flächenintegral über eine Vektorgröße als Fluss. Daher kann man auch formulieren:
Der Satz von Gauß stellt einen Zusammenhang zwischen der Divergenz eines Vektorfeldes in einem beliebigen Volumen V und dem Fluss des Feldes durch die Oberfläche A des betrachteten Volumens dar.
\(\begin{array}{*{20}{l}} {\int\limits_V {\left( {\vec \nabla \circ \vec B} \right)} \cdot dV = \oint\limits_A {\vec B} \cdot d\vec A}\\ {\int\limits_V {\left( {\vec \nabla \circ \vec D} \right)} \cdot dV = \oint\limits_A {\vec D} \cdot d\vec A} \end{array}\)
Für die Ladung q als Volumenintegral der Ladungsdichte \(\rho \) gilt:
\(q = \int\limits_V {\rho \cdot dV} \)
Die 4 Maxwell Gleichungen
Die 4 Maxwell Gleichungen bilden zusammen mit der Lorenzkraft das Fundament der Elektrodynamik.
Es handelt sich dabei um ein System auf partiellen Differentialgleichungen unter Verwendung der Operatoren div = Divergenz bzw rot = Rotation bzw. Nabla,
- für das elektrische Feld \(\vec E\left( {\vec x,t} \right){\mkern 1mu} {\text{ in }}\dfrac{{\text{V}}}{{\text{m}}}{\text{ bzw}}{\text{. }}\vec D\left( {\vec x,t} \right){\text{ in }}\dfrac{{\text{C}}}{{{{\text{m}}^{\text{2}}}}}\)
- für das magnetische Feld \(\vec H\left( {\vec x,t} \right){\text{ in }}\dfrac{{\text{A}}}{{\text{m}}}{\text{ bzw}}{\text{. }}\vec B\left( {\vec x,t} \right){\text{ in T}}\)
- für die Ladungsdichte \(\overrightarrow \rho \left( {\overrightarrow x ,t} \right){\text{ in }}\dfrac{{\text{C}}}{{{{\text{m}}^{\text{3}}}}}\)
- für den Stromdichtevektor \(\overrightarrow {{S_L}} \left( {\overrightarrow x ,t} \right){\text{ in }}\dfrac{{\text{A}}}{{{{\text{m}}^2}}}\)
Es treten dabei die
- elektrische Feldkonstante \({\varepsilon _0} = 8,854187817662 \cdot {10^{ - 12}}\dfrac{{{{\text{C}}^{\text{2}}}}}{{{\text{N}}{{\text{m}}^{\text{2}}}}}\)
- magnetische Feldkonstante \({\mu _0} = 4 \cdot \pi \cdot {10^{ - 7}}\dfrac{{N{s^2}}}{{{C^2}}}\)
auf, die folgenden Zusammenhang zur Lichtgeschwindigkeit c haben:
\({c_0} = \dfrac{1}{{\sqrt {{\varepsilon _0} \cdot {\mu _0}} }} \simeq 2,992 \cdot {10^8}\dfrac{{{\text{km}}}}{{\text{s}}}\)
Man unterscheidet folgende 4 Formen der Maxwellgleichungen:
nach der Art des Feldes:
- stationäres Feld: Die stationären Maxwellgleichungen gelten für zeitunabhängige Felder. Es kann das E und das B-Feld unabhängig voneinander betrachtet werden
- zeitlich rasch veränderliches Feld: Die dynamischen Maxwellgleichungen gelten auch für sich zeitlich rasch veränderliche Felder und sind eine Vervollständigung der statischen Maxwellgleichungen. Diese Formulierung der Maxwellgleichungen stellt ein System gekoppelter Differentialgleichungen dar.
nach der Schreibweise:
- Differentialform: Die Differentialform der Maxwellgleichungen geht von Wirbel- und Quellendichte, also von D, B aus.
- Integralform: Die Integralform der Maxwellgleichungen geht von Wirbel- und Quellenstärke also E, H aus.
1. Maxwellgleichung
Das Gaußsche Gesetz für elektr. Felder beschreibt den Zusammenhang zwischen elektr. Ladung im Raum und der Stärke des elektrischen Feldes. Die erste Maxwellgleichung besagt, dass Ladungen Q die Quellen des elektrischen Feldes sind.
1. Maxwellgleichung in Differentialform im statischen Feld
\(\nabla \cdot \overrightarrow D = div\overrightarrow D = \varphi _{wahr}^{el}\)
1. Maxwellgleichung in Differentialform im zeitlich veränderlichen Feld
\(\nabla \cdot \overrightarrow D = div\overrightarrow D = \varphi _{wahr}^{el}\)
1. Maxwellgleichung in Integralform
\(\oint\limits_A {\overrightarrow D } \,\,d\overrightarrow A = Q\)
2. Maxwellgleichung
Das Gaußsche Gesetz für magnetische Felder besagt, dass es keine magnetischen Monopole gibt. Die zweite Maxwellgleichung besagt, dass magnetische Felder immer quellenfrei sind. Es gibt keine magnetischen Ladungen und keine magnetischen Monopole. Magnetische Feldlinien sind entweder in sich geschlossen oder sie winden sich unendlich, ohne in sich zurückzulaufen. Der magnetische Fluss durch jede geschlossene Hüllfläche wird zu Null.
2. Maxwellgleichung in Differentialform im statischen Feld
\(\nabla \cdot \overrightarrow B = div\overrightarrow B = 0\)
2. Maxwellgleichung in Differentialform im zeitlich veränderlichen Feld
\(\nabla \cdot \overrightarrow B = div\overrightarrow B = 0\)
2. Maxwellgleichung in Integralform
\(\oint\limits_A {\overrightarrow B } \,\,d\overrightarrow A = 0\)
3. Maxwellgleichung
Das Faradaysches Induktionsgesetz
\( - \int\limits_A {\dfrac{{\partial \overrightarrow B }}{{\partial t}}} \,d\overrightarrow A + \int\limits_1^2 {\left( {\overrightarrow v \times \overrightarrow B } \right)} \,\,ds = - \dfrac{{d\Phi }}{{dt}}\)
besagt, dass jede Änderung des magnetischen Flusses \(\Phi \) durch eine verkettete Leiterschleife, egal ob diese durch die Bewegung einer Spule im Magnetfeld (Bewegungsinduktion) oder zufolge einer zeitlichen Änderung des Magnetfeldes (Ruheinduktion) verursacht ist, eine elektromotorische Kraft (EMK) bewirkt, und somit eine Urspannung induziert.
3. Maxwellgleichung in Differentialform im statischen Feld
\(\nabla \times \overrightarrow E = rot\overrightarrow E = 0\)
3. Maxwellgleichung in Differentialform im zeitlich veränderlichen Feld
\(\nabla \times \overrightarrow E = rot\overrightarrow E = - \dfrac{{\partial \overrightarrow B }}{{\partial t}}\)
3. Maxwellgleichung in Integralform
\(\oint\limits_s {\overrightarrow E \,\,d\overrightarrow s } = - \int\limits_A {\dfrac{{d\overrightarrow B }}{{dt}}} \,\,d\overrightarrow A \)
4. Maxwellgleichung
Der Durchflutungssatz
\(\Theta = \oint\limits_s {\overrightarrow H } \,\,d\overrightarrow s = \int\limits_A {\overrightarrow S \,\,d\overrightarrow A } = \sum\limits_k {{I_k}} = {U_m}\)
beschreibt den Zusammenhang zwischen der magnetischen Durchflutung Theta und dem verursachenden Strom S. Er besagt, dass geschlossene magnetische Feldlinien von einem Strom durchflossen bzw. „durchflutet“ werden, bzw. umgekehrt formuliert, dass ein elektrischer Strom von geschlossenen magnetischen Feldlinien umgeben ist.
Das Amperesche Durchflutungsgesetz mit dem Maxwell-Ergänzungsterm besagt, dass die magnetische Feldstärke proportional zur elektrischen Stromdichte und der Änderung des elektrischen Feldes ist.
4. Maxwellgleichung in Differentialform im statischen Feld
\(\nabla \times \overrightarrow H = rot\overrightarrow H = \overrightarrow {{S_L}} \)
4. Maxwellgleichung in Differentialform im zeitlich veränderlichen Feld
\(\nabla \times \overrightarrow H = rot\overrightarrow H = \overrightarrow {{S_L}} + \dfrac{{\partial \overrightarrow D }}{{\partial t}}\)
4. Maxwellgleichung in Integralform
\(\oint\limits_s {\overrightarrow H } \,\,d\overrightarrow s = \overrightarrow I + \int\limits_A {\dfrac{{d\overrightarrow D }}{{dt}}} \,\,d\overrightarrow A \)
Anmerkung: Die elektrische Stromdichte S wird auch oft mit J bezeichnet. Wir verwenden J aber für die magnetische Polarisation.
Wellengleichung der elektromagnetischen Welle
Veränderliche elektrische und magnetische Felder erzeugen einander gegenseitig. Die Lösungen der nachfolgend beschriebenen Wellengleichung für das elektrische und das magnetische Feld beschreiben die Ausbreitung von elektromagnetischen Feldern als Wellen mit Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Aus diesen Wellengleichungen ist die Kopplung zwischen E und B im Unterschied zu den Maxwell Gleichungen jedoch nicht mehr ersichtlich.
\(\eqalign{ & \dfrac{{{\partial ^2}\overrightarrow E }}{{\partial {t^2}}} = {c^2} \cdot \Delta \overrightarrow E = \dfrac{1}{{{\mu _0}{\varepsilon _0}}} \cdot \Delta \overrightarrow E \cr & \dfrac{{{\partial ^2}\overrightarrow B }}{{\partial {t^2}}} = {c^2} \cdot \Delta \overrightarrow B = \dfrac{1}{{{\mu _0}{\varepsilon _0}}} \cdot \Delta \overrightarrow B \cr} \)
Bedeutung der Maxwell-Gleichungen geht über die Elektrodynamik hinaus
Die elektromagnetische Wechselwirkung ist neben der Gravitation sowie der starken- bzw. schwachen Wechselwirkung eine der 4 fundamentalen Wechselwirkungen der Physik.
Ursprünglich waren die elektrische und die magnetische Wechselwirkung getrennt, doch mit den 4 Maxwell Gleichungen gelang es, diese beiden Wechselwirkungen zur elektromagnetischen Wechselwirkung zusammen zu fassen.
Maxwell beschrieb wie elektrische und magnetische Felder durch Ladungen und Ströme erzeugt werden und wie sie sich bei zeitlicher Veränderung gegenseitig bedingen.
Dies führte zunächst
- 1873 zu einer Vereinheitlichung elektrischer und magnetischer Phänomene,
- zur Vorhersage der elektromagnetischen Welle durch Hertz 1886, weiters
- zur Herleitung der speziellen Relativitätstheorie 1905 durch Einstein, weiters
- 1940 zur Quantenelektrodynamik und durch
- Einbeziehung der schwachen Wechselwirkung 1964 zur elektroschwachen Wechselwirkung.
Indem auch noch die starke Wechselwirkung eingebunden wurde, entstand das Standardmodell der Teilchenphysik, welches seit der Entdeckung des Higgs-Bosons 2012 als abgeschlossen gilt.
Sollte es zukünftig gelingen auch noch die Gravitation und somit die Allgemeine Relativitätstheorie mit einzubeziehen, hätte man alle 4 fundamentalen Wechselwirkungen in einer Quantengravitationstheorie vereint. Die heute vielversprechendsten Ansätze dafür sind die Supersymmetrie und die Stringtheorie.
Aufgaben
Aufgabe 221
Leistungsberechnung im Wechselstromkreis
Berechne für \(u\left( t \right) = U \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)\) und für \(i\left( t \right) = I \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)\) den Wirk- und den Blindleistungsanteil und interpretiere deren Mittelwerte.
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Aufgabe 245
Fourier Analyse einer \(2\pi \) periodischen Rechteckspannung
Gegeben ist folgende Rechteckspannung
\(u\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { + U\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,0 < t < \dfrac{T}{2}}\\ { - U\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,\dfrac{T}{2} < t < T} \end{array}} \right.\)
Aufgabenstellung:
Ermittle für obige Rechteckspannung die zugehörige Fourierreihe
Aufgabe 255
In einem Einfamilienhaus soll der Bezug von Strom und Gas aus dem öffentlichen Netz durch den Einsatz von Wärmepumpen und Photovoltaikanlagen reduziert werden.
1. Teilaufgabe:
Die spezifische Wärmekapazität von flüssigem Wasser beträgt \(4,190\dfrac{{kJ}}{{kg \cdot K}}\). Es soll ein 270 Liter Brauchwasserboiler eingesetzt werden. Das zufließende Wasser aus der öffentlichen Wasserleitung hat eine Temperatur von 7°C, das Brauchwasser (Abwasch, Dusche, Bad,...) soll 45°C haben.
Berechne, wie viel Energie in kWh pro Jahr erforderlich sind, um das Wasser zu erwärmen.
2. Teilaufgabe:
- Eine kWh Gas kostet inkl. MWST 4,8374 Cent bzw. 0,0484 €.
- Eine kWh Nachtstrom kostet inkl. MWST 14,21 Cent bzw. 0,1421 €
- Eine kWh Tagstrom kostet inkl. MWST 17,20 Cent bzw. 0,1720 €
Berechne die jährlichen Energiekosten des Brauchwasserboilers für jede der 3 Heizformen.
3. Teilaufgabe:
An dem Brauchwasserboilder soll eine Luft-Luft Wärmepumpe angebracht werden, die dem Raum Wärme entzieht und damit das Brauchwasser erwärmt. Die Brauchwasser-Wärmepumpe hat einen Effizienzfaktor COP = 3. D.h. sie nimmt 500 W elektrische Leistung aus dem Stromnetz auf und erzeugt 1.500 Heizleistung.
Berechne die jährlichen Stromkosten für den Betriev der Brauchwasser-Wärmepumpe.