stetige Verteilung
Stetige Zufallsvariablen nehmen unendlich viele Werte an. Zu ihnen zählen die Normalverteilung, Gleichverteilung und die Exponentialverteilung. Sie werden durch Dichtefunktionen oder Verteilungsfunktionen beschrieben. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten jedes einzelnen Werts der Zufallsvariablen ist Null.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Rechteckverteilung
Man wählt eine Rechteckverteilung, wenn sich für die stetige Zufallsvariable X eine Ober- bzw. Untergrenze angeben lässt, und alle Werte zwischen diesen beiden Grenzen gleich wahrscheinlich sind. Die Rechteckverteilung im Intervall [a, b] ist eine stetige Gleichverteilung, bei der jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist. Sie hat also im Intervall [a, b] eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte von 1/(b-a).
Die Rechteckverteilung wird noch als stete Gleichverteilung, als kontinuierliche Gleichverteilung bzw. als Uniformverteilung bezeichnet.
Dichtefunktion der Rechteckverteilung
\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{{b - a}}}&{a \le x \le b}\\ 0&{{\rm{sonst}}} \end{array}} \right.\)
Verteilfunktion der Rechteckverteilung
\(F\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{x \le a}\\ {\dfrac{{x - a}}{{b - a}}}&{a < x < b}\\ 1&{x \ge b} \end{array}} \right.\)
Erwartungswert der Rechteckverteilung
Der Erwartungswert und der Median der Rechteckverteilung sind gleich dem Wert in der Mitte des Intervalls [a,b].
\(\mu = E\left( X \right) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {x \cdot f\left( x \right)} \,\,dx = \dfrac{{a + b}}{2}\)
Varianz der Rechteckverteilung
\(Var\left( X \right) = {\sigma ^2} = \dfrac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{{12}}\)
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Exponentialverteilung
Die Exponetialfunktion von stetigen Zufallsvariablen wird zur Modellierung von der Zeit zwischen 2 Ereignissen oder der Lebensdauer von Bauteilen verwendet. Die stetige Exponentialverteilung wird durch die Ereignisrate \(\lambda\) - das ist die mittlere Anzahl der Ereignisse pro Zeiteinheit - bestimmt. Sie ist eine „gedächtnislose“ Funktion.
Dichtefunktion der Exponentialverteilung
Die Dichtefunktion sinkt umso steiler, je größer \(\lambda\) ist.
\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda \cdot {e^{ - \lambda x}}}&{x \ge 0}\\ 0&{x < 0} \end{array}} \right.\)
Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung
Die Verteilungsfunktion steigt umso steiler, je größer \(\lambda\) ist.
\(F\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a - {e^{ - \lambda x}}}&{x \ge 0}\\ 0&{x < 0} \end{array}} \right.\)
Erwartungswert der Exponentialverteilung
\(E\left( X \right) = \dfrac{1}{\lambda }\)
Varianz der Exponentialverteilung
\(Var\left( x \right) = \dfrac{1}{{{\lambda ^2}}}\)
Standardnormalverteilung
Die Normalverteilung oder gaußsche Verteilung ist eine stetige Verteilung und hat den Erwartungswert μ und die Varianz ,σ2 als Parameter. Da die Normalverteilung nur aufwändig zu berechnen ist, hat man sie standardisiert und in Tabellenform gebracht, wobei man den Mittelwert \(\mu = 0\) und die Standardabweichung \(\sigma = 1\) gesetzt hat. Hat eine Zufallsvariable X eine Normalverteilung mit beliebigen \(\mu\) und \(\sigma\) , so kann man die Werte der Normalverteilung mit \(Z = \dfrac{{X - \mu }}{\sigma }\)in eine Standardnormalverteilung umrechnen. Man nennt diese Umrechnung auch z-Transformation. Mit Hilfe der z-Transformation kann jede Normalverteilung standardisiert werden und dadurch viel einfacher (mit Hilfe einer Tabelle) berechnet werden.
- Um bei der Verteilungsfunktion Verwechslungen mit der Normalverteilung zu vermeiden, verwendet man für die Standardnormalverteilung die Bezeichnung \(\Phi \left( z \right)\), statt F(x).
- Um bei der Dichtefunktion Verwechslungen mit der Normalverteilung zu vermeiden, verwendet man für die Standardnormalverteilung die Bezeichnung \(\varphi \left( x \right)\) , statt f(x).
Bei um den Erwartungswert symmetrischen Intervallen gilt folgender Zusammenhang:
\(P\left( { - z \leqslant Z \leqslant z} \right) = 2 \cdot \Phi \left( z \right) - 1\)
\(P\left( { - z \leqslant Z \leqslant z} \right)\) | =90% | =95% | =99% |
z | \( \approx 1,645\) | \( \approx 1,960\) | \( \approx 2,576\) |
Dichtefunktion der Standard Normalverteilung
\(\varphi \left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {2\pi } }} \cdot {e^{ - \dfrac{{{x^2}}}{2}}}\)
Verteilungsfunktion der Standard Normalverteilung
Die Verteilungsfunktion der Standard Normalverteilung entspricht dem Integral über die Dichtefunktion
\(\begin{array}{l} \Phi \left( z \right) = P\left( {Z \le z} \right) = \int\limits_{ - \infty }^z {\varphi \left( x \right)} \,\,dx = \dfrac{2}{{\sqrt {2\pi } }} \cdot \int\limits_{ - \infty }^z {{e^{ - \dfrac{{{x^2}}}{2}}}} \,\,dx\\ \Phi \left( { - z} \right) = 1 + \Phi \left( z \right) \end{array}\)
Für den Graph der gaußschen Glockenkurve gilt:
- die Funktion nimmt nur positive Werte an \(p\left( x \right) > 0\) , wird aber für \(x < \mu - 3\sigma \) und \(x > \mu + 3\sigma\) "fast null und sie hat daher an der Basis eine "sichtbar" Breite von \(6\sigma \)
- hat \(\int\limits_{ - \infty }^\infty {f\left( x \right)\,\,dx = 1}\) als Flächeninhalt mit der x-Achse
- je kleiner die Streuung \(\sigma\) umso schmäler und höher ist die Glockenkurve, je größer die Streuung \(\sigma\) um so breiter und flacher ist die Glockenkurve
- hat einen Sattelpunkt an der Stelle \(x = \mu\)
- hat zwei Wendepunkte an den Stellen \(x = \mu \pm \sigma\)
- hat die x-Achse als Asymptote
- ist symmetrisch bezüglich der Geraden \(x = \mu\)
- die Wahrscheinlichkeit dass eine Messung exakt einen Wert a auf der Glockenkurve annimmt ist immer Null. Man erhält nur Aussagen für Intervalle, d.h. man muss eine Messungenauigkeit, einen absoluten Fehler \(\left| {\Delta x} \right|\) mit einbeziehen \(P\left( {a - \left| {\Delta x} \right| \leqslant x \leqslant a + \left| {\Delta x} \right|} \right)\)