Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung
\(P\left( {X \ge s + t\left| {X \ge t} \right.} \right) = P\left( {X \ge s} \right)\)
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Formeln
Exponentialverteilung
Die Exponetialfunktion von stetigen Zufallsvariablen wird zur Modellierung von der Zeit zwischen 2 Ereignissen oder der Lebensdauer von Bauteilen verwendet. Die stetige Exponentialverteilung wird durch die Ereignisrate \(\lambda\) - das ist die mittlere Anzahl der Ereignisse pro Zeiteinheit - bestimmt. Sie ist eine „gedächtnislose“ Funktion.
Dichtefunktion der Exponentialverteilung
Die Dichtefunktion sinkt umso steiler, je größer \(\lambda\) ist.
\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda \cdot {e^{ - \lambda x}}}&{x \ge 0}\\ 0&{x < 0} \end{array}} \right.\)
Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung
Die Verteilungsfunktion steigt umso steiler, je größer \(\lambda\) ist.
\(F\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a - {e^{ - \lambda x}}}&{x \ge 0}\\ 0&{x < 0} \end{array}} \right.\)
Erwartungswert der Exponentialverteilung
\(E\left( X \right) = \dfrac{1}{\lambda }\)
Varianz der Exponentialverteilung
\(Var\left( x \right) = \dfrac{1}{{{\lambda ^2}}}\)
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Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung und der geometrischen Verteilung
Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Ereignis (z.B. ein Produktfehler) nach weiteren t Minuten eintritt, nachdem man schon s Minuten gewartet hat. Man spricht auch von der "Nichtalterungseigenschaft".
Die Gedächtnislosigkeit ist eine spezielle Eigenschaft der Exponentialverteilung und der geometrischen Verteilung.
- Sie besagt, dass die bedingte Wahrscheinlich weitere s Zeiteinheiten zu überdauern unabhängig vom bis dahin erreichten Lebensalter ist , also für beliebige Vorbedingungen gleich ist. Die Zufallsvariable „merkt“ sich also nicht welches Lebensalter zum Betrachtungszeitpunkt bereits erreicht ist, und ist daher gedächtnislos. Bereits absolvierte Lebensdauer hat keinen Einfluss auf die Zukunft. Gegenstände altern nicht sonder versagen auf Grund zufälliger Ereignisse.
- Die Nichtalterungseigenschaft besagt, dass für ein gebrauchtes Bauteil, welches im Intervall (0,t) nicht ausgefallen ist, die Wahrscheinlichkeit noch länger als s zu funktionieren gleich groß ist, wie die Wahrscheinlichkeit für ein neues Bauteil noch länger als s zu funktionieren..
Eine Verteilung P mit der Verteilungsfunktion F heißt gedächtnislos, wenn für alle \(s,t \ge 0\) gilt: \(P\left( {X > s + t\left| {X > t} \right.} \right) = P\left( {X > s} \right)\) bzw. für stetige Verteilungen \(P\left( {X \ge s + t\left| {X \ge t} \right.} \right) = P\left( {X \ge s} \right)\)