Binomialverteilung - Grundlagen
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Formeln
Diskrete Zufallsvariable
Die Anzahl der Ergebnisse des Zufallsexperiments ist endlich / abzählbar. Eine diskrete Zufallsvariable ist durch die Angabe ihres Wertebereichs \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) und den Einzelwahrscheinlichkeiten fur das Auftreten von jedem Wert des Wertebereichs, also \(P\left( {X = {x_1}} \right) = {p_1},\,\,\,P\left( {X = {x_2}} \right) = {p_2},...P\left( {X = {x_n}} \right) = {p_n}\) vollständig definiert. Man spricht von der Wahrscheinlichkeitsfunktion, welche es nur für diskrete Zufallsvariablen gibt. (Bei stetigen Zufallsvariablen gibt es entsprechend die Dichtefunktion.)
Spezielle Verteilungen diskreter Zufallsvariabler sind
- Bernoulli-Verteilung
- Binomialverteilung (mit Zurücklegen)
- Poissonverteilung
- hypergeometrische Verteilung (ohne Zurücklegen)
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion, welche es nur für diskrete Zufallsvariablen gibt, beschreibt eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, indem sie jedem \(x \in {\Bbb R}\) einer Zufallsvariablen X genau eine Wahrscheinlichkeit P aus dem Intervall \(\left[ {0;1} \right]\) zuordnet.
\(f:x \to p\)
\(f:x \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {P\left( {X = {x_i}} \right)}&{für\,\,x = {x_i}}\\ 0&{für\,\,\,x \ne {x_i}} \end{array}} \right.\)
Funktionsgraph der Wahrscheinlichkeitsfunktion
Im Funktionsgraph der Wahrscheinlichkeitsverteilung werden über jedem (diskreten) Wert x die jeweilige Wahrscheinlichkeit P(X=x) dargestellt, wobei die einzelnen Wahrscheinlichkeiten P(X=x) mit Hilfe der Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnet werden. Im Stabdiagramm wird über jedem (diskreten) Wert x ein Stab (dünner Balken) aufgetragen, dessen Höhe der jeweilige Wahrscheinlichkeit P(X=x) entspricht.
Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen, auch kumulative Verteilfunktion genannt, gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsvariable X höchstens den Wert x annimmt.
\(F\left( x \right) = P\left( {X \leqslant x} \right)\)
Sie ist eine monoton steigende Treppenfunktion mit Sprüngen an den Stellen xi und daher nicht stetig. Geometrisch entspricht die Wahrscheinlichkeit P(X=x) der Sprunghöhe der Verteilungsfunktion F(x) an der Stelle x.
F(x) ist für jedes x definiert und nimmt Werte von mindestens 0 bis höchstens 1 an.
\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } F(x) = 0 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } F(x) = 1 \cr} \)
Darüber hinaus gilt:
\(\eqalign{ & P\left( {X \geqslant x} \right) = 1 - P\left( {X < x} \right) \cr & P\left( {X > x} \right) = 1 - P\left( {X \leqslant x} \right) \cr} \)
Mittelwert einer Vollerhebung bzw. einer Stichprobe
Der arithmetische Mittelwert bezieht sich immer auf die grundsätzlich abzählbare Anzahl n an Durchgängen eines Zufallsexperiments. Er ist definiert als die Summe aller beobachteten Werte dividiert durch die Anzahl der beobachteten Werte.
\(\overline x = \dfrac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \)
Unterschied Mittelwert und Erwartungswert
Wiederholt man das Zufallsexperiment unendlich oft, geht also \(n \to \infty \), so wird aus dem Mittelwert der Erwartungswert.
Erwartungswert
Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X, welche die diskreten Werte x1, x2, ..., xn mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten P(X=x1), P(X=x2), ... P(X=xn) annimmt, errechnet sich aus der Summe der Produkte vom jeweiligen Wert xi und seiner Wahrscheinlichkeit P(X=xi). Merkregel: "Was passiert" mal "mit welcher Wahrscheinlichkeit passiert es".
\(E\left( X \right) = \mu = {x_1} \cdot P\left( {X = {x_1}} \right) + {x_2} \cdot P\left( {X = {x_2}} \right) + ... + {x_n} \cdot P\left( {X = {x_n}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} \)
mit: \(P\left( E \right) = \frac{{{\text{Anzahl günstige Fälle}}}}{{{\text{Anzahl möglicher Fälle}}}}\)
Der Erwartungswert ist ein Maß für die mittlere Lage der Verteilung, und somit ein Lageparameter der beschreibenden Statistik.
- Ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Versuch die selbe (z.B. bei binomialverteilten Experimenten), dann ist der Erwartungswert gleich dem arithmetischen Mittel.
- Ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Versuch unterschiedlich , dann ist der Erwartungswert gemäß obiger Formel ein gewichtetes arithmetisches Mittel.
Erwartungswert für den Fall dass die diskrete Verteilung eine Binomialverteilung ist,
die nur zwei Werte (Erfolg / Misserfolg) annehmen kann und deren Trefferwahrscheinlichkeit immer p ist:
\(E\left( X \right) = n \cdot p\)
Physikalische Analogie
- Physikalisch entspricht der Erwartungswert dem Schwerpunkt. Man muss sich dabei die Massen R(X=xi) an den Positionen xi entlang vom Zahlenstrahl x platziert vorstellen.
- Physikalisch entspricht die Varianz dem Trägheitsmoment, wenn man den oben beschriebenen Zahlenstrahl um eine Achse dreht, die senkrecht auf den Zahlenstrahl steht und die durch den Schwerpunkt verläuft.
Varianz
Die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen ist die mittlere quadratische Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert und somit ein Streumaß der beschreibenden Statistik.
\({\sigma _x}^2 = Var\left( X \right) = {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_i} - E\left( x \right)} \right)} ^2} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)\)
Verschiebungssatz
Der Verschiebungssatz für diskrete Zufallsvariablen kann den Rechenaufwand für die Berechnung der Varianz verringern, es kann aber zum Verlust von Rechengenauigkeit kommen.
\({\sigma _x}^2 = Var\left( X \right) = E\left( {{X^2}} \right) - E{\left( X \right)^2} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2 \cdot P\left( {X = {x_i}} \right) - E{{\left( X \right)}^2}} \)
Standardabweichung
Die Varianz hat den Nachteil, als Einheit das Quadrat der Einheit der zugrunde liegenden Zufallsvariablen zu haben. Das ist bei der Standardabweichung (auf Grund der Quadratwurzel) und beim Erwartungswert nicht der Fall.
\({\sigma _x} = \sqrt {Var\left( X \right)} \)
Physikalische Analogie für den Erwartungswert und für die Varianz:
- Physikalisch entspricht der Erwartungswert dem Schwerpunkt. Man muss sich dabei die Massen R(X=xi) an den Positionen xi entlang vom Zahlenstrahl x plaziert vorstellen.
- Physikalisch entspricht die Varianz dem Trägheitsmoment, wenn man den oben beschriebenen Zahlenstrahl um eine Achse dreht, die senkrecht auf den Zahlenstrahl steht und die durch den Schwerpunkt verläuft
Illustration zur Veranschaulichung einer kleinen Varianz:
\(\eqalign{ & {x_1} = 3;\,\,\,\,\,{x_2} = 4;\,\,\,\,\,{x_3} = 5; \cr & P\left( {{x_1}} \right) = 0,2;\,\,\,\,\,P\left( {{x_2}} \right) = 0,6;\,\,\,\,\,P\left( {{x_3}} \right) = 0,2; \cr & E(X) = \mu = \sum\limits_{i = 1}^3 {{x_i} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} = 3 \cdot 0,2 + 4 \cdot 0,6 + 5 \cdot 0,2 = 4 \cr & Var(X) = {\sum\limits_{i = 1}^3 {\left( {{x_i} - E\left( X \right)} \right)} ^2} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right) = {\left( {3 - 4} \right)^2} \cdot 0,2 + {\left( {4 - 4} \right)^2} \cdot 0,6 + {\left( {5 - 4} \right)^2} \cdot 0,2 = 0,4 \cr} \)
Alternativ errechnet sich die Varianz unter Zuhilfenahme vom Verschiebungssatz wie folgt:
\(Var(X) = \sum\limits_{i = 3}^3 {{x_i}^2 \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} - {\left( {E\left( X \right)} \right)^2} = {3^2} \cdot 0,2 + {4^2} \cdot 0,6 + {5^2} \cdot 0,2 - {4^2} = 0,4\)
Illustration zur Veranschaulichung einer großen Varianz mit dem gleichen Erwartungswert:
\(\eqalign{ & {x_1} = 2;\,\,\,\,\,{x_2} = 4;\,\,\,\,\,{x_3} = 6; \cr & P\left( {{x_1}} \right) = 0,2;\,\,\,\,\,P\left( {{x_2}} \right) = 0,6;\,\,\,\,\,P\left( {{x_3}} \right) = 0,2; \cr & E(X) = \mu = \sum\limits_{i = 1}^3 {{x_i} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} = 2 \cdot 0,2 + 4 \cdot 0,6 + 6 \cdot 0,2 = 4 \cr & Var(X) = {\sum\limits_{i = 1}^3 {\left( {{x_i} - E\left( X \right)} \right)} ^2} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right) = {\left( {2 - 4} \right)^2} \cdot 0,2 + {\left( {4 - 4} \right)^2} \cdot 0,6 + {\left( {6 - 4} \right)^2} \cdot 0,2 = 1,6 \cr} \)
Alternativ errechnet sich die Varianz unter Zuhilfenahme vom Verschiebungssatz wie folgt:
\(Var(X) = \sum\limits_{i = 3}^3 {{x_i}^2 \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} - {\left( {E\left( X \right)} \right)^2} = {2^2} \cdot 0,2 + {4^2} \cdot 0,6 + {6^2} \cdot 0,2 - {4^2} = 1,6\)
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Binomialverteilung
Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung, der ein mehrstufigen Zufallsexperiment zugrunde liegt. Sie entsteht, wenn man ein Bernoulli Experiment (einstufiges Experiment, welches nur 2 mögliche Ausgänge hat) n Mal gleich und unverändert wiederholt. Die Grundgesamtheit ändert sich also im Laufe der Wiederholungen nicht, d.h. es handelt sich um ein „Ziehen mit Zurücklegen“.
X heißt binomialverteilt mit den 2 Parametern n und p:
- n … Anzahl der Ziehungen bzw. der Wiederholungen vom Zufallsexperiment, wobei n ∈ N
- p ... Laplace-Wahrscheinlichkeit für das Auftreten vom Ereignis X, bei jedem einzelnen der n Versuche, mit 0 < p < 1
- k ... Anzahl der Treffer, d.h. das Ereignis X tritt genau k mal ein, mit k=0, 1, 2, ... n
- X ... Zufallsvariable bzw. Trefferzahl, d.h. das Ereignis X tritt genau, weniger, öfter mindestens,... k mal ein, mit k=0, 1, 2, ... n, wobei die Anzahl der unabhängigen Bernoulli-Versuche n beträgt und p die Erfolgswahrscheinlichkeit beschreibt.
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es genau k Treffer gibt:
\(f\left( k \right) = P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\) für k=0, 1, ..,n
Zur Erinnerung: Der Binomialkoeffizient errechnet sich zu: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) = \dfrac{{n!}}{{k! \cdot \left( {n - k} \right)!}}\)
Bestimmung der Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung bei unterschiedlichen Grenzen
Ungleichungen im Sprachgebrauch:
- Weniger entspricht <
- Höchstens entspricht \( \le \)
- Mehr entspricht >
- Mindestens entspricht \( \ge \)
genau k Treffer | \(P(X = k) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{\left( {n - k} \right)}}\) |
höchstens k Treffer | \(P\left( {X \le k} \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \) |
weniger als k Treffer | \(P\left( {X < k} \right) = \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \) |
mindestens k Treffer | \(P\left( {X \ge k} \right) = 1 - P\left( {X \le k - 1} \right) = 1 - \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \) |
mehr als k Treffer | \(P\left( {X > k} \right) = 1 - P\left( {X \le k} \right) = 1 - \sum\limits_{i = 0}^k {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \) |
mindestens k aber höchstens m Treffer | \(\begin{array}{l} P\left( {k \le X \ge m} \right) = P\left( {X \le m} \right) - P\left( {X \le k - 1} \right) = \\ = \sum\limits_{i = 0}^m {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} - \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \end{array}\) |
Illustration zur Veranschaulichung
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit den Parametern n=10 Wiederholungen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p=0,3
Laplace Bedingung
Wenn die Laplace Bedingung \(\sigma = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} > 3\) erfüllt ist, kann man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern.
Sigma-Umgebungen
Der Erwartungswert ist der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Links und rechts vom Erwartungswert gruppieren sich die restlichen binomialverteilten Wahrscheinlichkeiten. Wenn die Streuung groß genug ist, kann man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern. Um zu prüfen ob diese Näherung zulässig ist, verwendet man die Laplace Bedingung.
Radius der Sigma Umgebung (also Vielfachen der Standardabweichung):
\(\begin{array}{l} 1\sigma \buildrel \wedge \over = P\left( {\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma } \right) \approx 68\% \\ 2\sigma \buildrel \wedge \over = P\left( {\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma } \right) \approx 95,5\% \\ 3\sigma \buildrel \wedge \over = P\left( {\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma } \right) \approx 99,7\% \end{array}\)
Verteilungsfunktion der Binomialverteilung
Verteilungsfunktion der Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es höchstens k Treffer gibt:
\(F\left( k \right) = P\left( {0 \le X \le k} \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right)} \cdot {p^i} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - i}}\)
Erwartungswert der Binomialverteilung
Der Erwartungswert eine Binomialverteilung, deren Zufallsvariable nur 2 Werte (Treffer / Niete) annehmen kann und deren Trefferwahrscheinlichkeit immer p ist, ergibt sich bei n unabhängigen Bernoulli-Versuchen aus dem Produkt von n und p.
\(E\left( X \right) = \mu = n \cdot p\)
Dabei handelt es sich um eine Vereinfachung der nachfolgenden Formel für den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen, die mehrere Werte annehmen kann.
Erwartungswert einer diskreten Verteilung
Der Erwartungswert einer diskreten Verteilung, deren Zufallsvariable mehrere Werte X=xi annehmen kann, die ihrerseits mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit P(X=xi) vorkommen entspricht der Summe der Werte der Zufallsvariablen X=xi multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von xi also P(X=xi).
\(E(X) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} = \mu \)
\(P\left( E \right) = \dfrac{{{\text{Anzahl günstiger Fälle}}}}{{{\text{Anzahl mölicher Fälle}}}}\)
Varianz der Binomialverteilung
Die Varianz einer Binomialverteilung mit den Parametern n und p ist gegeben durch:
\({\sigma ^2} = Var\left( X \right) = n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)\)
Hierbei ist X eine Zufallsvariable, welche die Anzahl der Treffer in n unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p beschreibt.
Standardabweichung der Binomialverteilung
\(\sigma = \sqrt {Var(X)} = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} \)
Binomialverteilung → Normalverteilung
Die Binomialverteilung kann bei großen Stichproben, also bei relativ hohem n, durch die Normalverteilung ersetzt werden. Wobei dann für die Normalverteilung - so wie bei der Binomialverteilung - wie folgt gilt:
- Erwartungswert bei großem n: \(E\left( x \right) = \mu = n \cdot p\)
- Standardabweichung bei großem n: \(\sigma = \sqrt {Var(x)} = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} \)
Hat eine Zufallsvariable X eine Normalverteilung mit beliebigen μ und σ, so kann man die Werte der Normalverteilung mit \(z = \dfrac{{X - \mu }}{\sigma }\) in eine Standardnormalverteilung umrechnen.
Das zugehörige \(\Phi \left( {{z}} \right)\) entnimmt man anschließend der entsprechenden Tabelle für die Standardnormalverteilung.
Bei 2 zum Erwartungswert symmetrisch liegenden Wahrscheinlichkeiten kann man den Umstand, dass \(\left| {{z_{oG}}} \right| = \left| {{z_{uG}}} \right|\) ausnützen und aus speziellen Tabellen für die Standardnormalverteilung direkt den Wert für das Intervall D ablesen.
Aufgaben
Aufgabe 1292
AHS - 1_292 & Lehrstoff: WS 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flaschensortieranlage
Auf einer Sortieranlage werden 500 Flaschen von einem Scanner untersucht – es wird die Art des Kunststoffes ermittelt. p % der Flaschen werden richtig erkannt und in die bereitgestellten Behälter einsortiert. Die Werte der binomialverteilten Zufallsvariablen X beschreiben die Anzahl k der falschen Entscheidungen beim vorgegebenen Stichprobenumfang.
k | P(X=k) |
10 | 0,0003 |
11 | 0,0007 |
12 | 0,0015 |
13 | 0,0029 |
14 | 0,0053 |
15 | 0,009 |
16 | 0,0144 |
17 | 0,0216 |
18 | 0,0305 |
19 | 0,0408 |
20 | 0,0516 |
21 | 0,0621 |
22 | 0,0712 |
23 | 0,0778 |
24 | 0,0814 |
25 | 0,0816 |
26 | 0,0785 |
27 | 0,0725 |
28 | 0,0644 |
29 | 0,0552 |
30 | 0,0456 |
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie mithilfe der gegebenen Tabelle die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {22 < X \leqslant 27} \right)\)und markieren Sie diese in der Grafik.
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Aufgabe 1294
AHS - 1_294 & Lehrstoff: WS 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schülerarbeit
Die Spinde einer Schule werden mit Vorhängeschlössern gesichert, die im Eigentum der Schüler/innen stehen. Erfahrungsgemäß müssen 5 % aller Spindschlösser innerhalb eines Jahres aufgebrochen werden, weil die Schlüssel verloren wurden. Ein Schüler berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb eines Jahres von 200 Schlössern mindestens zwölf aufgebrochen werden müssen. Die nachstehenden Aufzeichnungen zeigen seine Vorgehensweise:
\(P\left( {x \geqslant 12} \right)\) … Berechnung bzw. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit zu umständlich!
\(\eqalign{ & \mu = 200 \cdot 0,05 = 10 \cr & \sigma = \sqrt {200 - 0,05 \cdot 0,95} \approx 3,08\,\,\, > \,\,\,3 \cr & z = \frac{{x - \mu }}{\sigma } = \frac{{11,5 - 10}}{\sigma } \approx 0,49 \cr & \phi \left( {0,49} \right) = 0,6879 \cr & \Rightarrow P\left( {x \geqslant 12} \right) \cong 1 - 0,6879 \cong 0,3121 \cr & \Rightarrow Zu \approx 31\% \cr} \)
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Bei der Anzahl der Schlösser, die aufgebrochen werden müssen, handelt es sich um eine _____1_____ , und _____2_____ .
1 | |
gleichverteilte Zufallsvariable | A |
binomialverteilte Zufallsvariable | B |
normalverteilte Zufallsvariable | C |
2 | |
der Schüler rechnet mit der Normalverteilung, obwohl es nicht zulässig ist | I |
der Schüler verwechselt den Mittelwert mit dem Erwartungswert, also ist die Aufgabe deshalb nicht richtig gelöst | II |
der Schüler rechnet zulässigerweise mit der Normalverteilung | III |
Aufgabe 1319
AHS - 1_319 & Lehrstoff: WS 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Benutzung des Autos
Einer Veröffentlichung der Statistik Austria kann man entnehmen, dass von den über 15-Jährigen Österreicherinnen und Österreichern ca. 38,6 % täglich das Auto benutzen (als Lenker/in oder als Mitfahrer/in).
Quelle: Statistik Austria (Hrsg.) (2013). Umweltbedingungen, Umweltverhalten 2011. Ergebnisse des Mikrozensus. Wien: Statistik Austria. S. 95.
Aufgabenstellung
Es werden 500 über 15-jährige Österreicher/innen zufällig ausgewählt. Geben Sie für die Anzahl derjenigen Personen, die täglich das Auto (als Lenker/in oder als Mitfahrer/in) benutzen, näherungsweise ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall mit 95%iger Wahrscheinlichkeit an!
Aufgabe 1326
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Multiple-Choice-Antwort
Bei einer schriftlichen Prüfung werden der Kandidatin/dem Kandidaten fünf Fragen mit je vier Antwortmöglichkeiten vorgelegt. Genau eine der Antworten ist jeweils richtig.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Kandidatin/der Kandidat bei zufälligem Ankreuzen mindestens viermal die richtige Antwort kennzeichnet!
Aufgabe 1350
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialverteilte Zufallsvariable
In einer Urne befinden sich sieben weiße und drei rote Kugeln, die gleich groß und durch Tasten nicht unterscheidbar sind. Jemand nimmt, ohne hinzusehen, Kugeln aus der Urne.
Aufgabenstellung:
In welchen der folgenden Falle ist die Zufallsvariable X binomialverteilt? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
- Aussage 1: X beschreibt die Anzahl der roten Kugeln bei dreimaligem Ziehen, wenn jede entnommene Kugel wieder zurückgelegt wird.
- Aussage 2: X beschreibt die Anzahl der weißen Kugeln bei viermaligem Ziehen, wenn die entnommenen Kugeln nicht zurückgelegt werden.
- Aussage 3: X beschreibt die Anzahl der weißen Kugeln bei fünfmaligem Ziehen, wenn jede entnommene Kugel wieder zurückgelegt wird.
- Aussage 4: X beschreibt die Anzahl der Züge, bis die erste rote Kugel gezogen wird, wenn jede entnommene Kugel wieder zurückgelegt wird.
- Aussage 5: X beschreibt die Anzahl der Züge, bis alle weißen Kugeln gezogen wurden, wenn die entnommenen Kugeln nicht zurückgelegt werden.
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Aufgabe 1519
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zufallsexperiment
Bei einem Zufallsexperiment, das 25-mal wiederholt wird, gibt es die Ausgänge „günstig“ und „ungünstig“. Die Zufallsvariable X beschreibt, wie oft dabei das Ergebnis „günstig“ eingetreten ist. X ist binomialverteilt mit dem Erwartungswert 10.
- Aussage 1: P(X = 25) = 10
- Aussage 2: Wenn man das Zufallsexperiment 25-mal durchführt, werden mit Sicherheit genau 10 Ergebnisse „günstig“ sein.
- Aussage 3: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Zufallsexperiment „günstig“ ausgeht, ist 40 %.
- Aussage 4: Wenn man das Zufallsexperiment 50-mal durchführt, dann ist der Erwartungswert für die Anzahl der „günstigen“ Ergebnisse 20.
- Aussage 5: P(X > 10) > P(X > 8)
Aufgabenstellung:
Zwei der nachstehenden Aussagen lassen sich aus diesen Informationen ableiten. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1850
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Münzwurf
Eine Münze zeigt nach einem Wurf entweder „Kopf“ oder „Zahl“. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze „Kopf“ zeigt, ist bei jedem Wurf genauso hoch wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie „Zahl“ zeigt. Die Ergebnisse der Würfe sind voneinander unabhängig. Bei einem Zufallsversuch wird die Münze 4-mal geworfen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesem Zufallsversuch „Kopf“ häufiger als „Zahl“ auftritt.
[0 / 1 P.]