Aufgabe 1510
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Graphen und Funktionstypen
Im Folgenden sind sechs Funktionstypen angeführt, wobei die Parameter \(a,b \in {{\Bbb R}^ + }\) sind
A | \(f\left( x \right) = a \cdot {b^x}\) |
B | \(f\left( x \right) = a \cdot {x^{\dfrac{1}{2}}}\) |
C | \(f\left( x \right) = a \cdot \dfrac{1}{{{x^2}}}\) |
D | \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b\) |
E | \(f\left( x \right) = a \cdot {x^3}\) |
F | \(f\left( x \right) = a \cdot x + b\) |
Weiters sind die Graphen von vier Funktionen dargestellt.
- Graph 1:
- Graph 2:
- Graph 3:
- Graph 4:
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Graphen 1, 2, 3 und 4 jeweils den entsprechenden Funktionstyp (aus A bis F) zu!
Lösungsweg
Zur Lösung dieser Aufgabe ist es erforderlich den Verlauf vom Graph der wichtigsten Funktionen auswendig zu kennen. Wenn man das nicht kann und genügend viel Zeit hat, dann kann man mit Hilfe einer Wertetabellle die Funktionsgleichungen skizzieren.Wir analysieren die 4 Graphen und ordnen ihnen dann die jeweilige Funktionsgleichung zu:
- Graph 1: Es handelt sich um eine lineare Funktion vom Typ \(f(x) = y = k \cdot x + d\). Auf Grund der Steigung muss k positiv sein und auf Grund der Lage vom Schnittpunkt von f(x) mit der y-Achse muss d positiv sein. ⇒ Funktionsgleichung F
- Graph 2: Es handelt sich um eine Exponentialfunktion vom Typ \(f(x) = c \cdot {a^x}\). Der Graph ist streng monoton fallend. Gemäß nebenstehender Schreibweise ist a ein Abnahmefaktor für den gelten muss: \(0 < a < 1\). c ist der Streckungsfaktor. Er entspricht dem Funktionswert an der Stelle x=0 und ist positiv. ⇒ Funktionsgleichung A
- Graph 3: Es handelt sich um eine Wurzelfunktion vom Typ \(f(x) = \root n \of x = {x^{\dfrac{1}{n}}}\) Der Graph aller Wurzelfunktionen startet im Ursprung \(\left( {0\left| 0 \right.} \right)\) vom Koordinatensystem und verläuft durch den Punkt \(\left( {1\left| 1 \right.} \right)\). Wurzelfunktionen sind streng monoton steigend. ⇒ Funktionsgleichung B
- Graph 4: Es handelt sich um eine Hyperbel n-ten Grades, also um eine Reziprokfunktion vom Typ \(f\left( x \right) = \dfrac{c}{{{x^n}}} = c \cdot {x^{ - n}}\) . Der Koeffizient -n der Hyperbel muss positiv sein, weil beide Äste im Bereich der positiven y-Achse verlaufen. ⇒ Funktionsgleichung C
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Graph 1: "F"
- Graph 2: "A"
- Graph 3: "B"
- Graph 4: "C"
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jedem der vier Graphen ausschließlich der richtige Buchstabe zugeordnet ist.