Aufgabe 1344
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Definition der Winkelfunktionen
Die nachstehende Abbildung zeigt ein rechtwinkeliges Dreieck PQR.
- Aussage 1: \(\sin \alpha = \dfrac{p}{r}\)
- Aussage 2: \(\sin \alpha = \dfrac{q}{r}\)
- Aussage 3: \(\tan \beta = \dfrac{p}{q}\)
- Aussage 4: \(\tan \alpha = \dfrac{r}{p}\)
- Aussage 5: \(\cos \beta = \dfrac{p}{r}\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie jene beiden Gleichungen an, die für das dargestellte Dreieck gelten!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Nachfolgendes Video, welches Lernende durch Hinweise dabei unterstützt, selbst einen geeigneten Lösungsweg zu finden, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Lösungsweg
- Bei einem rechtwinkeligen Dreieck gibt es nur 1 Hypotenuse, das ist grundsätzlich die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt und die zugleich die längste Seite ist. Dh die Hypotenuse ist unabhängig davon, welche der beiden spitzen Winkel wir betrachten.
- Dann gibt es immer 2 Katheten. Welche von den beiden Katheten jedoch die Ankathete (sie liegt am betrachteten Winkel „an“) ist und welche die Gegenkathete (sie liegt dem betrachteten Winkel „gegen“über) ist hängt vom betrachteten spitzen Winkel ab! Dh die Bezeichnungen Ankathete und Gegenkathete wechseln, abhängig davon ob wir \(\alpha\) oder \(\beta \) betrachten!
- Bitte auch nie mit Buchstaben a, b, c arbeiten, nach dem Motto „c“ ist wäre immer die Hypotenuse....
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil für den Winkel die Seite p die Gegenkathete und die Seite r die Hypotenuse ist und weil \(\sin \alpha = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Hypotenuse}}}} = \dfrac{p}{r}\) gilt.
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil für den Winkel
die Seite q die Ankathete und die Seite r die Hypotenuse ist und weil \(\sin \alpha = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Hypotenuse}}}} = \frac{p}{r} \ne \dfrac{q}{r}\) gilt. - Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil für den Winkel
die Seite p die Ankathete und die Seite q die Gegenkathete ist und weil \(\tan \beta = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \dfrac{q}{p} \ne \dfrac{p}{q}\) gilt. - Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil für den Winkel
die Seite r die Hypotenuse und die Seite p die Gegenkathete ist und weil \(\tan \alpha = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \dfrac{p}{q} \ne \dfrac{r}{p}\) gilt. - Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil für den Winkel
die Seite p die Ankathete und die Seite r die Hypotenuse ist und weil \(\cos \beta = \dfrac{{{\text{Ankathete}}}}{{{\text{Hypotenuse}}}} = \dfrac{p}{r}\) gilt.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Gleichungen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.