Aufgabe 5691
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Niedrigzinsphase – Aufgabe B_568
Infolge der Finanzmarktkrise 2008 entstand eine über Jahre andauernde Phase niedriger Zinsen.
Teil a
Für einen Kredit mit jährlich nachschüssigen Annuitäten in Höhe von je € 12.000 wurde in der Zeit vor der Niedrigzinsphase ein fixer Jahreszinssatz i vereinbart. Die Zeile des Tilgungsplans für das Jahr 7 ist gegeben:
Jahr | Zinsanteil | Tilgungsanteil | Annuität | Restschuld |
7 | € 3.628,87 | € 8.371,13 | € 12.000,00 | € 78.030,55 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Jahreszinssatz i.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Höhe des Kredits.
[0 / 1 P.]
Nach dem Jahr 7 wird mit der Bank über einen neuen Zinssatz verhandelt. Mit dem ursprünglichen Zinssatz ergibt sich im Tilgungsplan folgende Zeile für das Jahr 8:
Jahr | Zinsanteil | Tilgungsanteil | Annuität | Restschuld |
8 | Z8 | T8 | € 12.000,00 | K8 |
Mit dem neuen, niedrigeren Zinssatz ergibt sich im Tilgungsplan folgende Zeile für das Jahr 8:
Jahr | Zinsanteil | Tilgungsanteil | Annuität | Restschuld |
8 | Zneu | Tneu | € 12.000,00 | Kneu |
Diese beiden Zeilen für das Jahr 8 werden verglichen.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Tragen Sie jeweils das richtige Zeichen („<“ oder „>“) ein.
- Zneu ? Z8
- Tneu ? T8
- Kneu ? K8
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Für den Zinsanteil im Jahr 7 gilt: \({R_7} = {K_6} \cdot i\) . Wir kennen R7 = 3.628,87 €, während K6 und i zunächst 2 Unbekannte sind.
Wir können K6 jedoch wie folgt berechnen:
\(\begin{array}{l} {K_6} = {K_7} + {T_7}\\ {K_6} = 78.030,55 + 8.371,13 = 86.404,68 \end{array}\)
Somit können wir den gesuchten Jahreszinssatz i wie folgt berechnen:
\({P_7} = {K_6} \cdot i \to i = \dfrac{{{P_7}}}{{{K_6}}} = \dfrac{{3.628,87}}{{86.404,68}} \approx 0,041998 \buildrel \wedge \over = 4,2\% \)
→ Der Zinssatz beträgt rund 4,2 % p. a.
Wir fassen zur besseren Übersicht wie folgt tabellarisch zusammen:
Jahr | Zinsanteil P | Tilgungsanteil T | Annuität A | Restschuld |
6 | \({K_6} = {K_7} + {T_7}\) | |||
7 | \({P_7} = {K_6} \cdot i\) | \({T_7}\) | \({A_7} = {K_6} \cdot i + {T_7}\) | \({K_7} = {K_6} - {T_7}\) |
7 | € 3.628,87 | € 8.371,13 | € 12.000,00 | € 78.030,55 |
2. Teilaufgabe
Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik besagt: Damit Zahlungen die zu unterschiedlichen Zeitpunkten getätigt wurden verglichen können, müssen sie auf einen Bezugszeitpunkt auf- oder abgezinst werden.
- Wir legen als Bezugszeitpunkt das Ende des 7. Jahre fest.
- Bis zum Bezugszeitpunkt muss der Kredit 7-mal aufgezinst werden:
\({K_0} \cdot {1,042^7}\) - In den 7 Jahren der bisherigen Laufzeit wurden jeweils 12000 € an Annuität einbezahlt. Der Endwert einer nachschüssigen Rente entspricht dem Zeitwert zu jenem Zeitpunkt, an dem die letzte Ratenzahlung erfolgt.
\(\begin{array}{l} {E_{{\rm{nachsch}}{\rm{.}}}} = R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}\\ {E_{{\rm{nachsch}}{\rm{.}}}} = 12000 \cdot \dfrac{{{{1,042}^7} - 1}}{{1,042 - 1}} \end{array}\) - Am Bezugszeitpunkt besteht laut Angabe noch eine Restschuld von 78.030,55€
Wir können somit folgende Gleichung in einer Unbekannten formulieren:
\(\begin{array}{l} {K_0} \cdot {1,042^7} = 12000 \cdot \dfrac{{{{1,042}^7} - 1}}{{1,042 - 1}} + 78030,55\\ {K_0} = \dfrac{{12000 \cdot \dfrac{{{{1,042}^7} - 1}}{{1,042 - 1}} + 78030,55}}{{{{1,042}^7}}} \approx 130.000,00129 \end{array}\)
Wolfram Alpha: (12000(1.042^(7)-1)/(1.042-1)+78030.55)/(1.042^(7))
→ Die Höhe des Kredits betrug € 130.000.
3. Teilaufgabe
Man kann die Fragen auch intuitiv beantworten: Wenn der Zinssatz sinkt, muss man weniger Zinsen zahlen und kann schneller tilgen. Wenn man schneller tilgt, dann sinkt die Restschuld schneller und man ist früher aus den Schulden raus.
- Der Angabe entnehmen wir, dass der neue Zinssatz ineu niedriger als der alte Zinssatz ialt ist: ineu < ialt
- Wenn der Zinssatz sinkt, dann wird auch der Zinsanteil sinken: Zneu < Z8.
- Da die Annuität, die sich aus Zinsanteil plus Tilgungsanteil zusammensetzt, unverändert bleibt, muss der Tilgungsanteil neu größer sein, als der Tilgungsanteil alt. Tneu > T8.
- Die Restschuld im Jahr 8 ergibt sich aus der Restschuld im Jahr 7 minus dem Tilgungsanteil im Jahr 8. Da mit dem neuen niedrigeren Zinssatz mehr getilgt wird, muss die neuer Restschuld entsprechend niedriger ausfallen. Kneu < K8.
Somit:
- Zneu < Z8
- Tneu > T8
- Kneu < K8
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Der Zinssatz beträgt rund 4,2 % p. a.
2. Teilaufgabe
Die Höhe des Kredits betrug € 130.000.
3. Teilaufgabe
- Zneu < Z8
- Tneu > T8
- Kneu < K8
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen des Jahreszinssatzes i.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Hohe des Kredits.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das Eintragen der richtigen Zeichen.