Aufgabe 4563

1. Teilaufgabe:

• Der SI-Präfis „nano“ bedeutet Milliardstel oder als Zehnerpotenz geschrieben 10^-9.
• Nach dieser Umformung müssen wir das Komma noch um 2 Stellen nach rechts verschieben, um die Mantisse (das ist die Gleitkommazahl vor der Potenz) von der Form 0,09584 in die Form 9,584 zu bringen. Dabei vergrößern wir die Mantisse um das Hundertfache. Damit der Wert der Zahl gleich bleibt, müssen wir Exponenten um den Faktor 100 verkleinern, das entspricht einer Multiplikation mit 10^-2. Potenzen werden multipliziert, indem man ihre Exponenten (Hochzahlen) addiert.

\(\eqalign{ & 0,09584{\text{nm}} = 0,09584 \cdot {10^{ - 9}}{\text{m}} = 9,584 \cdot {10^{ - 9}} \cdot {10^{ - 2}}{\text{m}} = \cr & = 9,584 \cdot {10^{ - 9 + ( - 2)}}{\text{m}} = 9,584 \cdot {10^{ - 11}}{\text{m}} \cr} \)

→ Die fehlende Zahl im Kästchen lautet daher „-11“

2. Teilaufgabe:

Es handelt sich um ein gleichschenkeliges Dreieck, dessen Schenkel gegeben sind. Ebenso ist der von den beiden Schenkeln eingeschlossene Winke gegeben.

Mit dem Kosinussatz kann die 3. Seite eines allgemeinen Dreiecks berechnen, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind. Der Kosinussatz lautet

\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( {\angle ab} \right)\)

Somit:

\(\eqalign{ & c = x = ? \cr & a = b = w = 0,09584 \cr & \angle ab = 104,45^\circ \cr & \cr & {x^2} = {0,09584^2} + {0,09584^2} - 2 \cdot 0,09584 \cdot 0,09584 \cdot \cos \left( {104,45} \right) \cr & x = \sqrt {{{0,09584}^2} + {{0,09584}^2} - 2 \cdot {{0,09584}^2} \cdot \cos \left( {104,45^\circ } \right)} \approx 0,1515 \cr & x \approx 0,1515{\text{nm}} \cr} \)

3. Teilaufgabe:

Es sind 5 Zusammenhänge gegeben, wir sollen denjenigen angeben, der NICHT gilt. Dh 4 Zusammenhänge müssen gelten, einer hingegen darf nicht gelten.

Nachfolgende Illustration wird uns bei der Beantwortung der Zusammenhänge noch hilfreich sein:

Bild

• Zusammenhang 1: Richtig, nicht ankreuzen
  • Die Summe der Innenwinkel in jedem Dreieck 180° beträgt.
  • Da es sich um ein gleichschenkeliges Dreieck handelt, muss der nicht eingezeichnete Winkel ebenfalls \(\alpha \) betragen
    \(180^\circ = 104,45^\circ + 2 \cdot \alpha \to 2 \cdot \alpha = 180^\circ - 104,45^\circ \)
• Zusammenhang 2: Richtig, nicht ankreuzen, weil es sich um den Sinussatz handelt.
  • Der Sinussatz besagt, dass im allgemeinen Dreieck der Quotient aus jeder Seitenlänge und dem Sinus vom jeweils gegenüber liegenden Winkel, gleich groß ist.
• Zusammenhang 3: Richtig, nicht ankreuzen, weil es sich um den Kosinussatz handelt.
  \(\eqalign{ & {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( {\angle ab} \right){\text{ }} \cr & {\text{mit c = w}}{\text{, a = x}}{\text{, b = w und }}\cos \left( {\angle ab} \right) = \cos \left( \alpha \right) \cr & {w^2} = {x^2} + {w^2} - 2 \cdot x \cdot w \cdot \cos \left( \alpha \right) \cr} \)
• Zusammenhang 4: Richtig, nicht ankreuzen
  • Der Kosinus bezeichnet das Verhältnis zweier Seitenlängen, nämlich von Ankathete zur Hypotenuse – aber ausschließlich im rechtwinkeligen Dreieck! Das vorliegende Dreieck x, w, w ist aber kein rechtwinkeliges Dreieck.
  • Wir machen uns also auf die Suche nach rechtwinkeligen Dreiecken. Die Höhe h_x auf die Hypotenuse x durch den Punkt O, halbiert die Seite x und teilt das gleichschenkelige Dreieck in zwei gleich große rechtwinkelige Dreiecke.
  • Für jedes der beiden rechtwinkeligen Dreiecke gilt:
    \(\eqalign{ & \cos \left( \varphi \right) = \dfrac{{{\text{Ankathete von }}\varphi }}{{{\text{Hypotenuse}}}} \cr & \cos \left( \alpha \right) = \frac{{\dfrac{x}{2}}}{w} = \dfrac{x}{{2 \cdot w}}\,\,\,\,\,{\text{wzbw}} \cr} \)
• Zusammenhang 5: Falsch, also ankreuzen
  • Der Sinus bezeichnet das Verhältnis zweier Seitenlängen, nämlich von Gegenkathete zur Hypotenuse – aber ausschließlich im rechtwinkeligen Dreieck! Das vorliegende Dreieck x, w, w ist aber kein rechtwinkeliges Dreieck.
  • Wir machen uns also auf die Suche nach rechtwinkeligen Dreiecken. Die Höhe auf die Hypotenuse x durch den Punkt O, halbiert die Seite x und teilt das gleichschenkelige Dreieck in zwei gleich große rechtwinkelige Dreiecke.
  • Für jedes der beiden rechtwinkeligen Dreiecke gilt:
    \(\eqalign{ & \sin \left( \varphi \right) = \dfrac{{{\text{Gegenkathete von }}\varphi }}{{{\text{Hypotenuse}}}} \cr & \cos \left( \alpha \right) = \dfrac{{{h_x}}}{w} \ne \dfrac{w}{x} \cr} \)

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