Aufgabe 4495
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Carport - Aufgabe B_522
Ein Carport soll durch verschiedene Modelle beschrieben werden.
Teil a
Im Modell A wird ein Teil des Carports durch die Graphen der Funktionen f, g und h beschrieben.
(siehe nachstehende Abbildung).
Der Graph der Funktion f mit \(f\left( x \right) = a \cdot \sqrt x \) beschreibt zwischen den Punkten A = (0 | 0) und B den Verlauf einer Begrenzungslinie. Der Graph der Funktion h ergibt sich durch Verschiebung des Graphen der Funktion f um 1 m nach links und um 0,5 m nach unten.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Tragen Sie die fehlenden Zahlen und Rechenzeichen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
\(h\left( x \right) = a \cdot \sqrt {x\boxed{}\boxed{}} \boxed{\boxed{}}\boxed{}\)
[0 / 1 P.]
Der Graph der Funktion g mit \(g\left( x \right) = b \cdot \sqrt x \) beschreibt zwischen den Punkten A = (0 | 0) und E = (0,4 | –1,62) den Verlauf einer weiteren Begrenzungslinie.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie den Parameter b.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]
- Aussage 1: \(h'\left( {0,1} \right) > f'\left( {0,1} \right)\)
- Aussage 2: \(f'\left( {0,1} \right) - g'\left( {0,1} \right) = 0\)
- Aussage 3: \(f'\left( 0 \right) = 1\)
- Aussage 4: \(f'\left( {0,1} \right) = h'\left( { - 0,9} \right)\)
- Aussage 5: \(g'\left( {0,4} \right) < g'\left( {0,1} \right)\)
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
- Verschiebung des Graphen der Funktion f um 1 m nach links: x → x+1
(Anmerkung: „-„ bewirkt eine Verschiebung nach rechts - Verschiebung des Graphen der Funktion f um 0,5 m nach unten f(x) → f(x)-0,5
(Anmerkung: „+“ bewirkt eine Verschiebung nach oben
Somit:
\(h\left( x \right) = a \cdot \sqrt {x + 1} - 0,5\)
2. Teilaufgabe:
\(\eqalign{ & g\left( x \right) = b \cdot \sqrt x \cr & \cr & {\text{ Punkt A: }} \cr & g(x = 0) = b \cdot \sqrt 0 = b \cdot 0 = 0{\text{ }}...{\text{ 0 = 0 }} \cr & {\text{Das ist eine triviale Aussage}} \cr & \cr & {\text{Punkt E: }} \cr & g(x = 0,4) = b \cdot \sqrt {0,4} = - 1,62 \cr & b = \dfrac{{ - 1,62}}{{\sqrt {0,4} }} \approx - 2,561 \cr} \)
Der gesuchte Parameter lautet: b =2,561..
3. Teilaufgabe:
Man kann das Beispiel durch den gedanklichen Vergleich der jeweiligen Tangenten – es werden ja jeweils die 1. Ableitungen miteinander verglichen - an die zugehörige Funktion lösen. Wir meinen aber, dass es wirklich einfach ist, die drei Ableitungen zu bestimmen und in die 5 Aussagen einzusetzen. So erhält man mathematisch exakte Aussagen - was in diesem Fall bei der Matura aber nicht gefordert ist.
Wir bilden die Ableitungsfunktionen:
\(\eqalign{ & f(x) = a \cdot \sqrt x \cr & h\left( x \right) = a \cdot \sqrt {x + 1} - 0,5 \cr & g(x) = - 2,561 \cdot \sqrt x \cr & \cr & f'\left( x \right) = a \cdot \dfrac{1}{{2 \cdot \sqrt x }} \cr & h'\left( x \right) = a \cdot \dfrac{1}{{2 \cdot \sqrt {x + 1} }} \cr & g'\left( x \right) = - 2,561 \cdot \dfrac{1}{{2 \cdot \sqrt x }} \cr} \)
Und setzen ein:
- Aussage 1: Falsch, weil \(\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }} < \dfrac{1}{{\sqrt x }}\)
Der Nenner vom 1. Bruch ist größer der vom 2. Bruch und daher ist der 1. Bruch kleiner als der 2. Bruch
- Aussage 2: Falsch, weil \(\dfrac{a}{{2 \cdot \sqrt x }} + \dfrac{{2,561}}{{2 \cdot \sqrt x }} \ne 0\)
- Aussage 3: Falsch, weil \(f'\left( {x = 0} \right) = a \cdot \dfrac{1}{{2 \cdot \sqrt 0 }} = \dfrac{a}{2} = 1{\text{ nur für a = 2}}\)
- Aussage 4: Richtig, weil \(a \cdot \dfrac{1}{{2 \cdot \sqrt {0,1} }} = a \cdot \dfrac{1}{{2 \cdot \sqrt { - 0,9 + 1} }}\)
- Falsch, weil \( - \dfrac{1}{{\sqrt {0,4} }} \approx - 1,55 > - \dfrac{1}{{\sqrt {0,1} }} \approx - 3,16\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(h\left( x \right) = a \cdot \sqrt {x + 1} - 0,5\)
2. Teilaufgabe
b =2,561..
3. Teilaufgabe
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das Eintragen der richtigen Zahlen und Rechenzeichen.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Parameters b.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.