Aufgabe 4404

1. Teilaufgabe:

\(\begin{array}{l} g\left( x \right) = a \cdot {\left( {1 - \dfrac{x}{b}} \right)^{ - 1}}\\ g(x) = \dfrac{a}{{1 - \dfrac{x}{b}}} \end{array}\)

• Aussage 1: Richtig, weil \(g(x = 0) = \dfrac{a}{{1 - \dfrac{0}{b}}} = \dfrac{a}{1} = a\)
   
• Aussage 2: Richtig, weil wir wie folgt zeigen können, dass der Nenner im gegebenen Intervall kleiner als 1 ist. Dazu müssen wir wissen in welchem Intervall der Bruch x/b liegt:
  \(\begin{array}{l} 0 < x < b\,\,\,\,\,\left| {:b} \right.\\ 0 < \dfrac{x}{b} < 1 \to \dfrac{x}{b} \in \left[ { > 0; < 1} \right] \end{array}\)
  D.h.: x/b ist größer als Null und kleiner als 1, somit kann man für g(x) folgern:
  \(g\left( x \right) = \dfrac{a}{{1 - \dfrac{x}{b}}} = \dfrac{a}{{1 - \left[ { > 0; < 1} \right]}} = \dfrac{a}{{\left[ { > 0; < 1} \right]}} \to g\left( x \right) > a\)
   
• Aussage 3: Richtig, weil
  • \(\dfrac{x}{b} \to {\text{monoton steigend}}\)
  • \(1 - {\text{monoton steigend }} \to {\text{ monoton fallend}}{\text{, aber positiv}}\)
  • \(\dfrac{a}{{{\text{monoton fallend}}{\text{, positv}}}} \to {\text{ monoton steigend}}\)
     
• Aussage 4: Eine Polstelle ist eine Definitionslücke einer Funktion, an der sich die Funktionswerte asymptotisch einer senkrechten Geraden annähern, diese aber nie erreichen. Damit eine Definitionslücke auftritt, muss der Nenner eine Nullstelle haben. Richtig, weil der Nenner an der Stelle x=b eine Nullstelle hat:
  \(\eqalign{ & 1 - \dfrac{x}{b} = 0\,\,\,\,\,\left| { \cdot b\,\,\,\,\,\left| { + x} \right.} \right. \cr & x = b \cr} \)
   
• Aussage 5: Falsch und daher ankreuzen, weil an der Stelle x=b keine Nullstelle sondern eine Polstelle vorliegt.

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