Aufgabe 4354
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Küchenkauf - Aufgabe B_453
Teil b
Frau Tomić benötigt für den Kauf der Küche einen Kredit in Höhe von € 20.000. Ein Bekannter von Frau Tomić bietet an, ihr das Geld zu einem fixen Zinssatz von 4 % p. a. zu leihen. Für die
Rückzahlung vereinbaren sie, dass am Ende des 1. Semesters nur die Zinsen zu bezahlen sind, danach sind Semesterraten in Hohe von jeweils € 2.000 fällig.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den äquivalenten Semesterzinssatz.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Vervollständigen Sie die Zeilen für die Semester 1 und 2 des nachstehenden Tilgungsplans.
[2 Punkte]
Semester | Zinsanteil | Tilgungsanteil | Semesterrate | Restschuld |
0 | --- | --- | --- | € 20.000 |
1 | ||||
2 |
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erklären Sie, warum die folgende Behauptung richtig ist: „Eine Verdoppelung der Semesterrate
führt nicht zu einer Verdoppelung des Tilgungsanteils.“
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Für unterjährige Raten gilt gemäß Formelsammlung:
\(\eqalign{ & {i_p} = {\left( {1 + {i_m}} \right)^{\frac{m}{p}}} - 1 \cr & {i_m} = \root {\frac{m}{p}} \of {{i_p} + 1} - 1 \cr} \)
mit
im | unterjähriger Zinssatz |
m |
Anzahl der unterjährigen Verzinsungsperioden; Semester → m=2 |
ip | äquivalenter auf die Rentenperiode bezogener Zinssatz |
p |
Anzahl der Raten pro Jahr |
wir machen im explizit:
\({i_m} = \root {\frac{m}{p}} \of {{i_p} + 1} - 1\)
und setzen wie folgt ein:
\(\eqalign{ & {i_m} = \root {\frac{m}{p}} \of {{i_p} + 1} - 1 \cr & {i_2} = \root {\frac{2}{1}} \of {0,04 + 1} - 1 \cr & {i_2} = \sqrt {1.04} - 1 \approx 0,0198039 \cr & {p_2} \approx 1,98\% \cr} \)
→ Der äquivalente Semesterzinssatz beträgt rund 1,98 %.
2. Teilaufgabe:
- Zinsanteil 1. Semester
- Lt. 1. Teilaufgabe beträgt der äquivalente Semesterzinssatz 1,98 %. Somit beträgt der Zinsanteil nach dem 1. Semester
\(20000 \cdot 0,0198 = 396,08\)
- Lt. 1. Teilaufgabe beträgt der äquivalente Semesterzinssatz 1,98 %. Somit beträgt der Zinsanteil nach dem 1. Semester
- Tilgungsanteil 1. Semester: 0 €, weil lt. Angabe nur die Zinsen bezahlt werden
- Semesterrate 1. Semester: 396,08 €
- Restschuld 1. Semester: 20.000 €, da ja nichts getilgt, sondern nur die Zinsen bezahlt wurden
- Zinsanteil 2. Semester
- Lt. 1. Teilaufgabe beträgt der äquivalente Semesterzinssatz 1,98 %. Somit beträgt der Zinsanteil nach dem 2. Semester
\(20000 \cdot 0,0198 = 396,08\)
- Lt. 1. Teilaufgabe beträgt der äquivalente Semesterzinssatz 1,98 %. Somit beträgt der Zinsanteil nach dem 2. Semester
- Semesterrate: Lt. Angabe 2.000€
- Tilgungsanteil: Semesterrate minus Zinsanteil; 2.000€ - 396,08 € = 1.603,92
- Restschuld: Restschuld minus Tilgungsanteil: 20.000 € - 1.603,92 = 18.396,08 €
Semester | Zinsanteil | Tilgungsanteil | Semesterrate | Restschuld |
0 | --- | --- | --- | € 20.000 |
1 | € 396,08 | € 0 | € 396,08 | € 20.000 |
2 | € 396,08 | € 1.603,92 | € 2.000 | € 18.396,08 |
3. Teilaufgabe:
Der Tilgungsanteil berechnet sich aus der Differenz von Semesterrate und Zinsanteil. Wenn die Semesterrate verdoppelt wird, bleibt der Zinsanteil trotzdem gleich hoch. Somit ist der neue Tilgungsanteil mehr als doppelt so hoch wie der alte Tilgungsanteil.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Der äquivalente Semesterzinssatz beträgt rund 1,98 %.
2. Teilaufgabe:
Semester | Zinsanteil | Tilgungsanteil | Semesterrate | Restschuld |
0 | --- | --- | --- | € 20.000 |
1 | € 396,08 | € 0 | € 396,08 | € 20.000 |
2 | € 396,08 | € 1.603,92 | € 2.000 | € 18.396,08 |
3. Teilaufgabe:
Der Tilgungsanteil berechnet sich aus der Differenz von Semesterrate und Zinsanteil. Wenn die Semesterrate verdoppelt wird, bleibt der Zinsanteil trotzdem gleich hoch. Somit ist der neue Tilgungsanteil mehr als doppelt so hoch wie der alte Tilgungsanteil.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × B1: für die richtige Berechnung des äquivalenten Semesterzinssatzes
2. Teilaufgabe:
1 × B2: für das richtige Vervollständigen der Zeile für das Semester 1 des Tilgungsplans
1 × B3: für das richtige Vervollständigen der Zeile für das Semester 2 des Tilgungsplans
3. Teilaufgabe:
1 × D: für die richtige Erklärung