Aufgabe 4112
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Baugrundstücke - Aufgabe B_090
Teil d
Frau Marth nimmt für den Kauf eines Baugrundstücks einen Kredit in Höhe von € 120.000 mit jährlich nachschüssigen Kreditrückzahlungen auf. Der vereinbarte Zinssatz beträgt 2,5 % p. a. Für die ersten zwei Jahre vereinbart Frau Marth Sonderbedingungen, die im nachstehenden Tilgungsplan dargestellt sind.
Jahr | Zinsanteil | Tilgungsanteil | Annuität | Restschuld |
0 | € 120.000 | |||
1 | ? | € 0,00 | € 123.000 | |
2 | € 0,00 | ? | € 123.000 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die Beträge für die beiden grau markierten Zellen im obigen Tilgungsplan.
[1 Punkt]
Ab dem Jahr 3 werden jährliche Annuitäten in Hohe von € 10.000 bezahlt.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie, wie viele volle Annuitäten in Hohe von € 10.000 bezahlt werden müssen.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Bei 2,5% Zinsen erhöht sich die Restschuld nach einem Jahr Laufzeit von 120.000 € Restschuld um \(120\,\,000\mbox{€} \cdot 0,025 = 3\,\,000\mbox{€}\) an Zinsen auf 123.000 €. Annuität=0 € bedeutet, dass im 1. Jahr keinerlei Rückzahlung erfolgt ist, womit 0€ an Zinsen bezahlt werden und der Tilgungsanteil negativ ist, nämlich -3.000 € und somit die Restschuld vermehrt. (Negative Tilgung = mehr Schulden)
Im 2. Jahr soll eine Annuität, also eine Rückzahlung, erfolgen. Die Annuität ist die Summe aus dem Zinsanteil und dem mit 0€ vorgegebenen Tilgungsanteil. Bei 2,5% Zinsen beträgt der Zinsanteil \(123\,\,000\,\,\mbox{€} \cdot 0,025 = 3\,\,075\,\,\mbox{€}\) . Die Annuität beträgt somit 0€ + 3.075 € = 3.075 €. Die Restschuld bleibt unverändert zum Vorjahr.
Jahr | Zinsanteil | Tilgungsanteil | Annuität | Restschuld |
0 | € 120.000 | |||
1 | - € 3.000 | € 0,00 | € 123.000 | |
2 | € 0,00 | € 3.075 | € 123.000 |
2. Teilaufgabe:
Die Restschuld beträgt 123.000 €; Jährlich wird eine fixe Annuität von 10.000 € zurückbezahlt. Der Barwert einer Rente bei n nachschüssigen Raten und einem Zinssatz von 2,5% (somit q=1,025) ergibt sich zufolge
\({B_{{\text{nachsch}}{\text{.}}}} = R \cdot \dfrac{1}{{{q^n}}} \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}\)
als
\(123\,\,000 = 10\,\,000 \cdot \dfrac{1}{{{{1,025}^n}}} \cdot \dfrac{{{{1,025}^n} - 1}}{{1 - 1,025}}\). Wir müssen also 1 Gleichung in 1 Unbekannten „n“ lösen.
\(\eqalign{ & 23\,\,000 = 10\,\,000 \cdot \dfrac{1}{{{{1,025}^n}}} \cdot \dfrac{{{{1,025}^n} - 1}}{{1 - 1,025}}\,\,\,\,\,\left| {:10\,\,000} \right. \cr & \dfrac{{123\,\,000}}{{10\,\,000}} = 12,3 = \dfrac{1}{{{{1,025}^n}}} \cdot \dfrac{{{{1,025}^n} - 1}}{{0,025}}\,\,\,\,\,\left| { \cdot 0,025} \right. \cr & 0,3075 = \dfrac{{{{1,025}^n} - 1}}{{{{1,025}^n}}} \cr & \cr & n \approx 14,8808 \cr} \)
→ Die volle Annuität in Höhe von € 10.000 muss 14-mal bezahlt werden.
Wir haben die Gleichung zunächst etwas vereinfacht und dann mittels Technologieeinsatz gelöst:
Copy-Past-Code für Wolfram Alpha: 0.3075=(1.025^(n)-1)/(1.025^(n))
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
- Tilgungsanteil 1. Jahr = -3000 €
- Annuität 2. Jahr = 3.075 €
2. Teilaufgabe:
Die volle Annuität in Höhe von € 10.000 muss 14-mal bezahlt werden.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × B1: Für das richtige Ermitteln des Tilgungsanteils im Jahr 1 und der Annuität im Jahr 2 (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × B2: Für die richtige Berechnung der Anzahl der vollen Annuitäten (KA)