Aufgabe 5680
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sonnenblumen – Aufgabe A_329
Teil b
Die Höhe einer anderen Sonnenblume lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t in einem bestimmten Zeitintervall näherungsweise durch die Funktion h beschreiben.
\(h\left( t \right) = 6,2 \cdot {a^t}\)
- t ... Zeit ab dem Beobachtungsbeginn in Tagen
- h(t) ... Höhe der Sonnenblume zum Zeitpunkt t in cm
Zum Zeitpunkt t = 17 beträgt die Höhe dieser Sonnenblume 38,6 cm.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie a.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Anzahl der Tage, in denen sich die Höhe dieser Sonnenblume jeweils vervierfacht.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir tragen die in der Angabe enthaltene Höhe von 38,6 cm zum Zeitpunkt t=17 in die gegebene Gleichung ein und machen a explizit:
\(\eqalign{ & h\left( t \right) = 6,2 \cdot {a^t} \cr & h\left( {t = 17} \right) = 38,6 \cr & \cr & 6,2 \cdot {a^{17}} = 38,6\,\,\,\,\,\left| {:6,2\,\,\,\,\left| {\root {17} \of {} } \right.} \right. \cr & a = \root {17} \of {\dfrac{{38,6}}{{6,2}}} \approx 1,11357 \cr} \)
Der gesuchte Parameter ergibt sich zu \(a \approx 1,1135\)
2. Teilaufgabe
\(\eqalign{ & h(t = 0) = 6,2 \cr & \cr & {\text{4 - fache H\"o he:}} \cr & 4 \cdot 6,2 = 6,2 \cdot {1,1135^t}\,\,\,\,\left| {:6,3} \right. \cr & 4 = {1,1135^t}\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right. \cr & \ln \left( {1,1135} \right) \cdot t = \ln \left( 4 \right) \cr & t = \dfrac{{\ln \left( 4 \right)}}{{\ln \left( {1,1135} \right)}} \approx 12,88 \cr} \)
→ Die Höhe der Sonnenblume vervierfacht sich jeweils in rund 12,9 Tagen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Der gesuchte Parameter ergibt sich zu \(a \approx 1,1135\)
2. Teilaufgabe
Die Höhe der Sonnenblume vervierfacht sich jeweils in rund 12,9 Tagen.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen von a.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Anzahl der Tage.