Aufgabe 4170
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sonnenaufgang - Aufgabe A_284
Teil a
Während der Morgendämmerung wird es kontinuierlich heller. Die Beleuchtungsstärke bei klarem Himmel kann an einem bestimmten Ort in Abhängigkeit von der Zeit näherungsweise durch folgende Exponentialfunktion E beschrieben werden:
\(E\left( t \right) = 80 \cdot {a^t}{\text{ mit }} - 60 \leqslant t \leqslant 30\)
- t ... Zeit in min, wobei t = 0 der Zeitpunkt des Sonnenaufgangs ist
- E(t) ... Beleuchtungsstärke zur Zeit t in Lux
- a ... Parameter
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Interpretieren Sie die Zahl 80 in der Funktionsgleichung von E im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Die Beleuchtungsstärke verdoppelt sich alle 5 min. Berechnen Sie den Parameter a.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Exponentialfunktionen sind Funktionen vom Typ \(f\left( t \right) = c \cdot {a^t}\). c ist der sogenannte Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert weil \(f\left( {t = 0} \right) = c \cdot {a^0} = c\). Aus der gegebenen Gleichung kann man die gesuchte Größe direkt ablesen:
\(E\left( t \right) = 80 \cdot {a^t}{\text{ mit }} - 60 \leqslant t \leqslant 30\)
→ Die Beleuchtungsstärke bei Sonnenaufgang beträgt 80 Lux.
2. Teilaufgabe:
Wir setzen für den Zeitpunkt t=5 min ein und erhalten eine Gleichung zur Berechnung der gesuchten Größe a:
\(\eqalign{ & E\left( {t = 0} \right) = 80 \cdot {a^0} = 80 \cr & E\left( {t = 5} \right) = 80 \cdot {a^5} = 2 \cdot 80 \cr & {a^5} = 2 \cr & a = \root 5 \of 2 \approx 1,1487 \cr} \)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Die Beleuchtungsstärke bei Sonnenaufgang beträgt 80 Lux.
2. Teilaufgabe:
Die gesuchte Größe a beträgt: \(a = \root 5 \of 2 \approx 1,1487\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 x C: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang.
2. Teilaufgabe:
1 x B: für die richtige Berechnung des Parameters a