Aufgabe 4006
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Medikamentenabbau - Aufgabe A_251
Teil a
Der Abbau von Medikamenten im Körper kann näherungsweise durch exponentielle Modelle beschrieben werden. Die nachstehende Tabelle gibt an, welche Menge N(t) eines bestimmten Medikaments zur Zeit t im Körper vorhanden ist:
t in h | 0 | 2 | 4 |
N(t) in mg | 100 | 60 | 36 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erklären Sie, warum die in der Tabelle angegebenen Daten die Beschreibung des Medikamentenabbaus durch ein exponentielles Modell nahelegen. [1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung derjenigen Exponentialfunktion N, die diesen Medikamentenabbau beschreibt. [1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie diejenige Menge des Medikaments, die zur Zeit t = 3 h im Körper vorhanden ist. [1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Exponentielle Modelle sind Modelle gemäß Exponentialfunktionen gemäß \(N(t) = {N_0} \cdot {e^{\lambda \cdot t}}\)
Das charakteristische einer Exponentialfunktion ist, dass in absolut gleichgroßen Zeitschritten (hier: plus 2h) immer eine relativ (prozentuell) gleichgroße Änderung des Funktionswerts (hier: mal 0,6 bzw. 60%) erfolgt..
Funktionsargument (absolut) |
t in h | 0 | +2= | 4 | +2= | 6 |
Funktionswert (prozentuell) |
N(t) in mg | 100 | \( \cdot 0,6 = \) | 60 | \( \cdot 0,6 = \) | 36 |
2. Teilaufgabe
\(\eqalign{ & N\left( t \right) = {N_o} \cdot {e^{\lambda \cdot t}} \cr & N\left( {t = 0} \right) = {N_0} = 100 \cr & N(t = 2) = {N_0} \cdot {e^{\lambda \cdot 2}} = 60 \cr & \cr & 100 \cdot {e^{\lambda \cdot 2}} = 60\,\,\,\,\,\left| {:100} \right. \cr & {e^{\lambda \cdot 2}} = 0,6\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right. \cr & 2 \cdot \lambda = \ln \left( {0,6} \right) \cr & \lambda = \frac{{\ln \left( {0,6} \right)}}{2} \approx - 0,255413 \cr & \cr & N\left( t \right) = 100 \cdot {e^{ - 0,255413 \cdot t}} \cr} \)
mit:
t | Zeit in h |
N(t) | vorhandene Menge des Medikaments im Körper zur Zeit t in mg |
3. Teilaufgabe
\(\eqalign{ & N\left( t \right) = 100 \cdot {e^{ - 0,255413 \cdot t}} \cr & N\left( {t = 3} \right) = 100 \cdot {e^{ - 0,255413 \cdot 3}} = 46,4758 \cr} \)
Zur Zeit t = 3 h sind rund 46 mg des Medikaments im Körper vorhanden.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Das charakteristische einer Exponentialfunktion ist, dass in absolut gleichgroßen Zeitschritten (hier: plus 2h) immer eine relativ (prozentuell) gleichgroße Änderung des Funktionswerts (hier: mal 0,6 bzw. 60%) erfolgt.
2. Teilaufgabe
\(N\left( t \right) = 100 \cdot {e^{ - 0,255413 \cdot t}}\)
3. Teilaufgabe
Zur Zeit t = 3 h sind rund 46 mg des Medikaments im Körper vorhanden.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × D: Für die richtige Erklärung (KA)
2. Teilaufgabe
1 × A: Für das richtige Erstellen einer Gleichung der Exponentialfunktion (KB)
3. Teilaufgabe
1 × B: Für die richtige Berechnung der Menge zur Zeit t = 3 h (KB)