Aufgabe 1119
AHS - 1_119 & Lehrstoff: FA 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parameter einer linearen Funktion
Der Verlauf einer linearen Funktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = k \cdot x + d\) wird durch ihre Parameter k und d mitbestimmt.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie den Graphen einer linearen Funktion \(f\left( x \right) = k \cdot x + d\) für deren Parameter k und d die Bedingungen \(k = \dfrac{2}{3};\,\,\,d < 0\) gelten, in das Koordinatensystem ein!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Lineare Funktion
\(f\left( x \right) = kx + d\)
- k ist der Anstieg bzw. die Steigung
- d ist der Abschnitt auf der y-Achse. Der Punkt (0|d) ist daher der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse, man spricht vom Achsenabschnitt.
Lösungsweg
- d ist der Abschnitt auf der y-Achse, steht also immer und exakt für den Punkt \(P\left( {0\left| d \right.} \right)\). Da wir für d jeden negativen Wert wählen können, wählen wir willkürlich d=-1 und erhalten so den 1. Punkt auf der Geraden.
- k bezeichnet den Anstieg bzw. die Steigung der Geraden. k zeichnet man ein, indem man von einem bel. Ausgangspunkt auf der Geraden um 1 Einheit in Richtung der positiven x-Achse geht und dann - abhängig vom Vorzeichen von k - um k Einheiten in Richtug der pos. bzw. neg. y-Achse geht. So erhält man neben dem Ausgangspunkt einen 2. Punkt auf der Geraden und kann diese einzeichnen.
- Da \(k = \dfrac{2}{3}{\text{ }}\) ein Wert ist, den man nur sehr ungenau einzeichnen kann, "vergrößern" wir das Dreieck um den Faktor 3:
- Wir gehen wir um \(1 \cdot 3 = 3\) Einheiten in Richtung der positiven x-Achse und dann
- um \( \dfrac{2}{3} \cdot 3 = 2\) Einheiten in Richtung der positiven y-Achse.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Lösungsschlüssel:
Die Lösung gilt nur dann als richtig, wenn ein Graph gezeichnet worden ist, der die Bedingungen für die Parameter k und d erfüllt. D. h., richtig sind alle Graphen, deren Steigung \(k = \dfrac{2}{3}\) und deren d < 0 ist.