Aufgabe 1156
AHS - 1_156 & Lehrstoff: AG 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lagebeziehung zweier Geraden
Gegeben sind die Geraden \(g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right) + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 2 \end{array}} \right)\) und \(h:x - 2 \cdot y = - 1\)
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Die Geraden g und h _____1______ , weil __________2_________ .
1 | |
sind parallel | A |
sind ident | B |
stehen normal aufeinander | C |
2 | |
der Richtungsvektor von g zum Normalvektor von h parallel ist | I |
die Richtungsvektoren der beiden Geraden g und h parallel sind | II |
der Punkt P = (1|1) auf beiden Geraden g und h liegt | III |
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Wir können uns eine Skizze machen und damit die Aufgabenstellung grafisch lösen:
- Den Richtungsvektor der Geraden g können wir direkt aus der Angabe ablesen und einzeichnen: \(\overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 2 \end{array}} \right)\)
- Die Steigung der Geraden h erlangen wir durch Umformung:
\(\begin{array}{l} h:x - 2 \cdot y = - 1\,\,\,\,\,\left| { - x} \right.\\ - 2y = - 1 - x\,\,\,\,\,\left| { \cdot - 1} \right.\\ 2y = x + 1\,\,\,\,\,\left| {:2} \right.\\ y = 0,5x + 0,5\\ y = kx + d\\ \\ k = 0,5\\ d = 0,5 \end{array}\)
Somit sieht die Skizze wir folgt aus
Lösungsweg
Rechnerisch können wir die Aufgabe wie folgt lösen: Wir beachten, dass bereits die Aufgabenstellung Bezug auf den Richtungsvektor \(\overrightarrow r\) der Geraden g und auf den Normalvektor \(\overrightarrow n \) der Geraden h nimmt:
- Wir ermitteln \(\overrightarrow r\):
\(g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right) + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 2 \end{array}} \right)\)
Der Richtungsvektor der Geraden g lautet: \(\overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 2 \end{array}} \right)\) - Wir ermitteln \(\overrightarrow n \)
\(h:x - 2 \cdot y = - 1\)
Wir wissen, dass die Koeffizienten der allgemeinen Form der Geradengleichung zugleich die Koordinaten vom Normalvektor \(\overrightarrow n \) sind: \(\overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 2} \end{array}} \right)\)
Nun prüfen wir ob ein rechter Winkel zwischen \(\overrightarrow n \) und \(\overrightarrow r\) vorliegt:
Unter Verwendung vom Orthogonalitätskriterium ergibt sich:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow r \bot \overrightarrow n \Leftrightarrow {r_x} \cdot {n_x} + {r_y} \cdot {n_y} = 0\\ \left( { - 1} \right) \cdot \left( 1 \right) + \left( 2 \right) \cdot \left( { - 2} \right) = - 1 - 4 = 5 \end{array}\)
→ Nein, es liegt kein rechter Winkel zwischen \(\overrightarrow n \) und \(\overrightarrow r\) vor!
Für die beiden Geraden g und h bedeutet dies, dass sie nicht parallel sind und daher auch sicher nicht ident!
Nun prüfen wir ob \(\overrightarrow n \) und \(\overrightarrow r\) parallel sind:
Dazu prüfen wir auf lineare Abhängigkeit. D.h. kann man die beiden Vektoren über einen einzigen Faktor in einander umrechnen?
\(\begin{array}{l} \overrightarrow r = \lambda \cdot \overrightarrow n \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 2 \end{array}} \right) = \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 2} \end{array}} \right) \Rightarrow \lambda = - 1 \end{array}\)
→ Ja, \(\overrightarrow n \) und \(\overrightarrow r\) sind parallel
Somit wissen wir, dass der Richtungsvektor von g parallel zum Normalvektor von h ist:
\(\overrightarrow r \parallel \overrightarrow n \Rightarrow g \bot h\)
Für die beiden Geraden g und h bedeutet dies, dass sie im rechten Winkel (normal) auf einander stehen.
Damit können wir die beiden Lücken wie folgt füllen:
Die Geraden g und h stehen normal aufeinander, weil der Richtungsvektor von g zum Normalvektor von h parallel ist .
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Geraden g und h stehen normal aufeinander, weil der Richtungsvektor von g zum Normalvektor von h parallel ist .
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn für beide Lücken jeweils der richtige Satzteil angekreuzt ist.