Aufgabe 6029
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
In einem kartesischen Koordinatensystem sind
- die Ebene \(E:{x_1} + {x_3} = 2\)
- der Punkt \(A\left( {0\left| {\sqrt 2 \left| 2 \right.} \right.} \right)\)
- und die Gerade \(g:\overrightarrow X = \overrightarrow A + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right),\,\,\,\lambda \in {\Bbb R }\)
gegeben.
1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Beschreiben Sie, welche besondere Lage die Ebene E im Koordinatensystem hat.
2. Teilaufgabe a.2) 1 BE - Bearbeitungszeit 2:20
Weisen Sie nach, dass die Ebene E die Gerade g enthält.
3. Teilaufgabe a.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von E mit der x1-Achse und mit der x3 -Achse an.
4. Teilaufgabe a.4) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Veranschaulichen Sie die Lage der Ebene E sowie den Verlauf der Geraden g in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abbildung).
Die x1x2-Ebene beschreibt modellhaft eine horizontale Fläche, auf der eine Achterbahn errichtet wurde. Ein gerader Abschnitt der Bahn beginnt im Modell im Punkt A und verläuft entlang der Geraden g. Der Vektor
\(\overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right)\)
beschreibt die Fahrtrichtung auf diesem Abschnitt.
5. Teilaufgabe b.1) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie im Modell die Größe des Winkels, unter dem dieser Abschnitt der Achterbahn gegenüber der Horizontalen ansteigt.
6. Teilaufgabe b.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Berechnen Sie im Modell die zugehörige Steigung dieses Abschnitts in Prozent.
An den betrachteten geraden Abschnitt der Achterbahn schließt sich – in Fahrtrichtung gesehen – eine Rechtskurve an, die im Modell durch einen Viertelkreis beschrieben wird, der in der Ebene E verläuft und den Mittelpunkt \(M\left( {0\left| {3 \cdot \sqrt 2 \left| 2 \right.} \right.} \right)\) hat. Das Lot von M auf g schneidet g im Punkt B. Im Modell stellt B den Punkt der Achterbahn dar, in dem der gerade Abschnitt endet und die Kurve beginnt.
7. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Koordinaten von B.
8. Teilaufgabe c.2) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie den Kurvenradius im Modell.
(Teilergebnis: \(B\left( { - 1\left| {2 \cdot \sqrt 2 \left| 3 \right.} \right.} \right)\)
Das Ende der Rechtskurve wird im Koordinatensystem durch den Punkt C beschrieben.
9. Teilaufgabe d) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie, dass für den Ortsvektor des Punkts C gilt: \(\overrightarrow C = \overrightarrow M + \overrightarrow v \)
Ein Wagen der Achterbahn durchfährt den Abschnitt, der im Modell durch die Strecke [AB] und den Viertelkreis von B nach C dargestellt wird, mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 15 m/s.
10. Teilaufgabe e) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie die Zeit, die der Wagen dafür benötigt, auf Zehntelsekunden genau, wenn eine Längeneinheit im Koordinatensystem 10 m in der Realität entspricht.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
besondere Lage die Ebene E im Koordinatensystem:
Bei der Normalvektorform der Ebene ε wird ein Aufpunkt P und ein Normalvektor \(\overrightarrow n \) welcher im rechten Winkel auf die Ebene steht, benötigt. Mit Hilfe dieser beiden Bestimmungsgrößen kann jeder beliebige Punkt X der Ebene berechnet werden.
\(\varepsilon :\overrightarrow n \circ \left( {\overrightarrow X - \overrightarrow P } \right)\)
Die Koordinaten des Normalvektors sind zugleich die Koeffizienten der allgemeinen Form der Ebenengleichung.
\(\begin{array}{l} \varepsilon = a \cdot {x_1} + b \cdot {x_2} + c \cdot {x_3} = d\\ \overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b\\ c \end{array}} \right) \end{array}\)
Somit:
\(\begin{array}{l} E:{x_1} + {x_3} = 2\\ \overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ 1 \end{array}} \right) \end{array}\)
Da der Normalvektor nur Koeffizienten in Richtung der x1 bzw. x3 Achse hat, muss die Ebene normal auf die von der x1 und der x3 Achse aufgespannte Ebene stehen und somit parallel zur x2 Achse verlaufen. Die Ebene E scheidet die x1x2-Ebene und die x2x3-Ebene im 45° Winkel. Wenn wir die Koordinaten vom Ursprung O(0|0|0) in die Ebenengleichung einsetzen, dann sehen wir, dass der Ursprung nicht in der Ebene liegt: \(O \notin E{\text{ wegen: }}0 + 0 \ne 2\)
2. Teilaufgabe:
Ebene E enthält die Gerade g:
Wir stellen die Geradengleichung in der Punkt Vektorform auf:
\(\begin{array}{l} A\left( {0\left| {\sqrt 2 \left| 2 \right.} \right.} \right)\\ g:\overrightarrow X = \overrightarrow A + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right) = \\ g:\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {\sqrt 2 }\\ 2 \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right) \end{array}\)
Damit die Gerade g in der Ebene liegt, müssen 2 Bedingungen erfüllt sein:
- 1. Bedingung:
\(\begin{array}{l} A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {\sqrt 2 }\\ 2 \end{array}} \right) \in \varepsilon \\ E:{x_1} + {x_3} = 2\\ 0 + 2 = 2 \to {\rm{wzbw}} \end{array}\)
- 2. Bedingung:
\(\begin{array}{l} g \bot n \to {\rm{Orthogonalitätskriterium:}}\\ \overrightarrow g \circ \overrightarrow n = 0\\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right) \circ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ 1 \end{array}} \right) = \left( { - 1} \right) \cdot 1 + \sqrt 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0\,\,\,\,\,{\rm{wzbw}} \end{array}\)
Der Punkt A liegt auf der Geraden g und in der Ebene E und die Gerade g steht orthogonal auf den Normalvektor n der Ebene, daher enthält die Ebene E die Gerade g
3. Teilaufgabe:
Koordinaten der Schnittpunkte von E mit der x1-Achse und mit der x3 -Achse:
Der Schnittpunkte von E mit der x1-Achse muss auf der x1-Achse liegen und seine x2- und x3-Komponenten muss Null sein. Der Schnittpunkt muss zudem der Ebenengleichung genügen:
\(\begin{array}{l} E:1 \cdot {x_1} + 1 \cdot {x_3} = 2\\ {S_{_{x1}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{{S_{x1}}}}}\\ 0\\ 0 \end{array}} \right)\\ {S_{_{x1}}} \in E:{x_{{S_{x1}}}} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot {x_3} = 2 \to {x_{{S_{x1}}}} = 2\\ {S_{_{x1}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 0\\ 0 \end{array}} \right) \end{array}\)
Der Schnittpunkte von E mit der x3-Achse muss auf der x3-Achse liegen und seine x1- und x2-Komponenten muss Null sein. Der Schnittpunkt muss zudem der Ebenengleichung genügen:
\(\begin{array}{l} E:1 \cdot {x_1} + 1 \cdot {x_3} = 2\\ {S_{_{x3}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {{x_{S3}}} \end{array}} \right)\\ {S_3} \in E:0 \cdot 1 \cdot {x_1} + {x_{{S_{x3}}}} \cdot 1 = 2 \to {x_{S3}} = 2\\ {S_{_{x3}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 2 \end{array}} \right) \end{array}\)
4. Teilaufgabe:
Lage der Ebene E sowie den Verlauf der Geraden g in ein kartesischen Koordinatensystem einzeichnen
- Über die Ebene E wissen wir aus der 1. Teilaufgabe, dass sie normal auf die von der x1 und der x3 Achse aufgespannte Ebene stehen und somit parallel zur x2 Achse verläuft.
- Aus der 3. Teilaufgabe kennen wir den
- Schnittpunkt von E mit der x1-Achse zu:
\({S_{_{x1}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 0\\ 0 \end{array}} \right)\) - Schnittpunkt von E mit der x3-Achse zu:
\({S_{_{x3}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 2 \end{array}} \right)\)
- Schnittpunkt von E mit der x1-Achse zu:
Somit können wir die Ebene einzeichnen:
- Von der Geraden g kennen wir
- den Punkt
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {\sqrt 2 }\\ 2 \end{array}} \right)\)
der wegen Ax1=0 ein Spurpunkt sein muss. - den Richtungsvektor
\(g:\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {\sqrt 2 }\\ 2 \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right)\)
der jedoch nicht einfach in die 3D Illustration einzuzeichnen ist. Ein 2. Spurpunkt wäre da schon sympathisch.
- den Punkt
Man bestimmt den (2.) Spurpunkt mit folgenden zwei Schritten:
- Abhängig vom Spurpunkt Si setzt man die i-te Zeile der Geradengleichung gleich Null und bestimmt den Wert von Lambda.
\(\begin{array}{l} g:\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {\sqrt 2 }\\ 2 \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right)\\ \sqrt 2 + \lambda \cdot \sqrt 2 = 0 \to \lambda = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = - 1 \end{array}\) - Man setzt Lambda in die verbleibenden Zeilen der Geradengleichung ein und erhält so die fehlenden Komponenten des Spurpunkts
\({S_{x2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {\sqrt 2 }\\ 2 \end{array}} \right) - 1 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0 + 1}\\ {\sqrt 2 - \sqrt 2 }\\ {2 - 1} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ 1 \end{array}} \right)\)
Mit Hilfe der beiden Punkte A und Sx2 können wir die Gerade einzeichnen
5. Teilaufgabe:
Größe des Winkels, unter dem dieser Abschnitt der Achterbahn gegenüber der Horizontalen ansteigt:
Wir müssen also den Schnittwinkel zwischen der Geraden g und der x1x2-Ebene berechnen. Der Schnittwinkel j zwischen einer Geraden und einer Ebene ist der Winkel zwischen der Geraden und ihrer senkrechten Projektion auf die Ebene.
Gerade, gegeben durch ihren Richtungsvektor:
\(\overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right)\)
Ebene, gegeben durch ihren Normalvektor:
\(\overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 1 \end{array}} \right)\)
Gemäß einem Blick in die Formelsammlung ergibt sich der Schnittwinkel zu:
\(\varphi = \arcsin \dfrac{{\left| {\overrightarrow r \circ \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow r } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}}\)
Somit:
\(\begin{array}{l} \varphi = \arcsin \dfrac{{\left| {\left( { - 1} \right) \cdot 0 + \sqrt 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \\ = \arcsin \dfrac{1}{{\sqrt {1 + 2 + 1} \cdot \sqrt 1 }} = \arcsin \dfrac{1}{2} \to \varphi = 30^\circ \end{array}\)
→ Der gesuchte Schnittwinkel beträgt 30°.
6. Teilaufgabe:
Steigung dieses Abschnitts in Prozent
7. Teilaufgabe:
Koordinaten von B:
Der gegebene Vektor v weist von Punkt A weg, in Richtung der steigenden Geraden g. Er liegt also hinter der x2x3-Ebene. Die Punkte A, B, M und C liegen alle in der gegebenen Ebene. Weiters gilt:
\(\begin{array}{l} A,B \in g\\ \overrightarrow v \in g\\ \overrightarrow {AB} = \lambda \cdot \overrightarrow v \\ \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {BM} \\ r = \left| {\overrightarrow {BM} } \right| \end{array}\)
Zudem sind die Gerade g und der Vektor v Tangenten an den (Viertel)Kreis, welcher die Rechtskurve darstellt.
Nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge:
Für den Kurvenradius benötigen wir den Normalabstand des Punktes M von der Geraden g. Der Normalabstand eines Punktes M von einer Geraden entspricht dem Abstand des Punkts M zu seinem Lotpunkt B auf der Geraden. Der Lotpunkt B ist der Schnittpunkt einer Hilfsebene H, die einerseits den Punkt M enthält und die andererseits orthogonal zur Geraden g steht.
Zuerst bestimmen wir den Normalvektor h der Hilfsebene H:
\(\begin{array}{l} g:\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {\sqrt 2 }\\ 2 \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right) \bot H\\ \overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right) \in H\\ M\left( {0\left| {3 \cdot \sqrt 2 \left| 2 \right.} \right.} \right) \in H \end{array}\)
Der Vektor v ist daher zugleich der Normalvektor h der Hilfsebene H. Der Punkt M liegt in der Hilfsebene. Somit lautet eine Gleichung für die Hilfsebene wie folgt:
\(\begin{array}{l} \varepsilon :\overrightarrow n \circ \left( {\overrightarrow X - \overrightarrow P } \right) = 0\\ \\ H:\overrightarrow h \circ \left( {\overrightarrow X - \overrightarrow M } \right) = 0\\ H:\overrightarrow v \circ \left( {\overrightarrow X - \overrightarrow M } \right) = 0\\ H:\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right) \circ \left( {\overrightarrow X - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {3 \cdot \sqrt 2 }\\ 2 \end{array}} \right)} \right) = 0 \end{array}\)
Als zweites bestimmt man den Lotfußpunkt, das ist jener Punkt B, in dem die Gerade g die Ebene H durchstößt. Dh der Punkt B muss die Gleichung der Geraden g und die Gleichung der Ebene H erfüllen:
\(\begin{array}{l} B:g \cap H\\ \overrightarrow X :g = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {\sqrt 2 }\\ 2 \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right)\\ \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right) \circ \left( {\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {\sqrt 2 }\\ 2 \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right)} \right] - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {3 \cdot \sqrt 2 }\\ 2 \end{array}} \right)} \right) = 0\\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right) \circ \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {\sqrt 2 }\\ 2 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {3 \cdot \sqrt 2 }\\ 2 \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right)} \right) = 0\\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right) \circ \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ { - 2 \cdot \sqrt 2 }\\ 0 \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right)} \right) = 0\\ \left[ { - 1 \cdot \left( {0 - \lambda } \right)} \right] + \left[ {\sqrt 2 \cdot \left( { - 2 \cdot \sqrt 2 + \lambda \cdot \sqrt 2 } \right)} \right] + \left[ {1 \cdot \left( {0 + \lambda } \right)} \right] = 0\\ \left[ \lambda \right] + \left[ { - 2 \cdot 2 + \lambda \cdot 2} \right] + \left[ \lambda \right] = 0\\ \lambda - 4 + 2\lambda + \lambda = 0\\ 4 \cdot \lambda = 4\\ \lambda = 1 \end{array}\)
Somit ergibt sich der Punkt B als jener Punkt der Geraden g, für den Lambda gleich 1 ist:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow B :g = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {\sqrt 2 }\\ 2 \end{array}} \right) + 1 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right)\\ \overrightarrow B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {2 \cdot \sqrt 2 }\\ 3 \end{array}} \right) \end{array}\)
8. Teilaufgabe:
Kurvenradius im Modell:
Der Kurvenradius entspricht dem Betrag des Vektors \(\overrightarrow {MB} \)
\(\begin{array}{l} M\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {3 \cdot \sqrt 2 }\\ 2 \end{array}} \right)\\ B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {2 \cdot \sqrt 2 }\\ 3 \end{array}} \right)\\ \\ \overrightarrow r = \overrightarrow {MB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {2 \cdot \sqrt 2 }\\ 3 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {3 \cdot \sqrt 2 }\\ 2 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ { - \sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right)\\ \left| {\overrightarrow r } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( 1 \right)}^2}} = \sqrt {1 + 2 + 1} = \sqrt 4 = 2 \end{array}\)
→ Der gesuchte Radius der Rechtskurve beträgt 2 Längeneinheiten
9. Teilaufgabe:
Begründen Sie, dass für den Ortsvektor des Punkts C gilt: \(\overrightarrow C = \overrightarrow M + \overrightarrow v \)
Wir müssen den Betrag und die Richtung des Vektors v argumentieren:
Betrag:
Der Radius der Rechtskurve beträgt 2 Einheiten. Gemäß der gegebenen Gleichung muss der Punkt C um 2 Einheiten von M entfernt liegen. Es muss also gelten:
\(r = \left| {\overrightarrow v } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} } \right|\)
Somit:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right)\\ \left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {1 + 2 + 1} = \sqrt 4 = 2 = r\,\,\,\,\,{\rm{wzbw}} \end{array}\)
Richtung:
Da der Punkt C durch eine Viertelkreisdrehung von B um M hervor geht, besteht also zwischen g bzw dem Vektor v und der Strecke MB ein rechter Winkel. Es besteht ein weiterer rechter Winkel zwischen der Strecke MB und der Strecke MD.
oder
Dreht man den Vektor v um 90° in Richtung von BM und dann wieder um 90° in Richtung CM muss gelten: \(\overrightarrow {MC} \parallel \overrightarrow v \)
10. Teilaufgabe:
Fahrzeit des Wagens auf Zehntelsekunden genau
Die Wegstrecke s, die der Wagen zurücklegt, setzt sich aus der Strecke AB und dem Viertelkreisbogen BC zusammen.
Wir kennen bereits:
\(\left| {\overline {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right| = 2\)
Die Länge vom Viertelkreisbogen mit dem Radius s ergibt sich zu:
\(b = \dfrac{U}{4} = \dfrac{{2 \cdot r \cdot \pi }}{4} = \dfrac{{2 \cdot 2 \cdot \pi }}{4} = \pi \)
Somit ergibt sich s zu:
\(s = \left| {\overline {AB} } \right| + b = 2 + \pi {\text{ Längeneinheiten}}\)
Die gesuchte Fahrzeit erhalten wir unter Berücksichtigung, dass 1 Längeneinheit 10 m in der Natur entspricht, gemäß
\(\eqalign{ & v = \frac{s}{t} \cr & t = \frac{s}{v} = \frac{{\left( {2 + \pi } \right) \cdot 10}}{{15}} \cdot \frac{{\text{m}}}{{\frac{{\text{m}}}{{\text{s}}}}} \approx 3,428{\text{s}} \cr} \)
→ Die gesuchte Fahrzeit beträgt ca. 3,4 Sekunden.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Die Ebene E steht normal auf die von der x1 und der x3 Achse aufgespannte Ebene und scheidet die x1x2-Ebene und die x2x3-Ebene im 45° Winkel.
2. Teilaufgabe:
Der Punkt A liegt auf der Geraden g und in der Ebene E und die Gerade g steht orthogonal auf den Normalvektor n der Ebene, daher enthält die Ebene E die Gerade g.
3. Teilaufgabe:
- \({S_{_{x1}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 0\\ 0 \end{array}} \right)\)
- \({S_{_{x3}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 2 \end{array}} \right)\)
4. Teilaufgabe:
5. Teilaufgabe:
Der gesuchte Schnittwinkel beträgt 30°.
6. Teilaufgabe:
\(\overrightarrow B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {2 \cdot \sqrt 2 }\\ 3 \end{array}} \right)\)
7. Teilaufgabe:
\(\overrightarrow B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {2 \cdot \sqrt 2 }\\ 3 \end{array}} \right)\)
8. Teilaufgabe:
Der gesuchte Radius der Rechtskurve beträgt 2 Längeneinheiten
9. Teilaufgabe:
Weil \(\left| {\overrightarrow v } \right| = r = 2\) und \(\overrightarrow {MC} \parallel \overrightarrow v \) gilt der gegebene Zusammenhang: \(\overrightarrow C = \overrightarrow M + \overrightarrow v \)
10. Teilaufgabe:
Die gesuchte Fahrzeit beträgt ca. 3,4 Sekunden.