Aufgabe 32
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\(- 33{x^2} = 333\)
Lösungsweg
Es ist eine quadratische Gleichung zu lösen. Sollten wir dabei die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen müssen, hätte die Gleichung zwei konjugiert komplexe Zahlen als Lösung.
\(\eqalign{ & - 33{x^2} = 333 \cr & {x^2} = - \dfrac{{333}}{{33}} \cr & {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - \dfrac{{111}}{{11}}} \cr}\)
Gemäß der Formel für "Höhere Potenzen der imaginären Einheit i" gilt:
\(\sqrt { - 1} = i\)
\({x_{1,2}} = \pm i\sqrt {\dfrac{{111}}{{11}}}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\({x_{1,2}} = \pm i\sqrt {\dfrac{{111}}{{11}}}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung sowohl in Real- und Imaginärteil mit der korrekten Lösung übereinstimmt.