Biathlon – 2114. Aufgabe 2_114

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe - Best-of-Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Biathlon

Biathlon ist eine Wintersportart, die Skilanglauf und Schießen kombiniert. Bei einem bestimmten Wettbewerb müssen drei Runden zu je 2 500 m absolviert werden. Dabei gilt:

• Nach der ersten und nach der zweiten absolvierten Runde findet jeweils ein Schießen statt. Bei jedem Schießen werden fünf Schüsse abgegeben.
• Für jeden Fehlschuss muss eine 150 m lange Strafrunde absolviert werden, wodurch es zu einem Zeitverlust kommt.

Quelle: https://www.sport1.de/wintersport/biathlon/2018/11/biathlon-im-ueberbli…
[15.04.2021].

Teil a

Lisa absolviert die drei Runden mit folgenden durchschnittlichen Geschwindigkeiten (v₁, v₂, v₃ in m/s): v₁ für die erste Runde; v₂ für die zweite Runde; v₃ für die dritte Runde

• Für das Schießen benötigt Lisa jeweils die Zeitdauer t* (t* in s).
• Nach der ersten absolvierten Runde macht sie beim Schießen keinen Fehler.
• Nach der zweiten absolvierten Runde macht sie beim Schießen genau 2 Fehler.
• Die 2 Strafrunden absolviert sie mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von v_S (v_S in m/s).

Unter der Laufzeit b (b in s) versteht man diejenige Zeit, die Lisa insgesamt für die absolvierten Runden inklusive Strafrunden und für das Schießen benötigt.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie mithilfe von v₁, v₂, v₃, t* und v_S eine Formel zur Berechnung von b auf.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe - Best-of-Wertung
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Biathlon

Biathlon ist eine Wintersportart, die Skilanglauf und Schießen kombiniert. Bei einem bestimmten Wettbewerb müssen drei Runden zu je 2 500 m absolviert werden.

Teil b

Die Geschwindigkeit von Hanna in der ersten Runde kann modellhaft durch die Funktion
v: [0; 440] → ℝ, t ↦ v(t) beschrieben werden (t in s, v(t) in m/s).

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Interpretieren Sie

\(\dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_0^T {v\left( t \right)} \,\,dt{\text{ mit }}T \in \left( {0s;440s} \right)\)

im gegebenen Sachzusammenhang.

[0 / 1 P.]

Es gibt genau zwei Zeitpunkte 
\({t_1},{t_2} \in \left( {0s;440s} \right){\text{ mit }}{t_1} < {t_2}\)

für die gilt:

\(\begin{gathered} v'\left( {{t_1}} \right) = 0{\text{ und }}v''\left( {{t_1}} \right) < 0 \hfill \\ v'\left( {{t_2}} \right) = 0{\text{ und }}v''\left( {{t_2}} \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \)
 

• Satzteil 1.1: lokale Minimumstellen
• Satzteil 1.2: lokale Maximumstellen
• Satzteil 1.3: Wendestellen

• Satzteil 2.1: durchschnittlichen Geschwindigkeit
• Satzteil 2.2: Länge der zurückgelegten Strecke
• Satzteil 2.3: durchschnittlichen Beschleunigung
   

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.

Die Zeitpunkte t₁ und t₂ sind _____1_____ der Funktion v und der Wert von \(\dfrac{{v\left( {{t_2}} \right) - \left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\)  entspricht dabei der _____2_____  im Zeitintervall [t₁; t₂].
[0 / ½ / 1 P.]

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Biathlon

Biathlon ist eine Wintersportart, die Skilanglauf und Schießen kombiniert. Bei einem bestimmten Wettbewerb müssen drei Runden zu je 2 500 m absolviert werden.

Teil c

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer von Daria beim Schießen an und wird als binomialverteilt angenommen. Bei jedem der 5 Schüsse ist p die Trefferwahrscheinlichkeit.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie unter Verwendung von p eine Formel zur Berechnung der nachstehenden Wahrscheinlichkeit auf.

\(P\left( {X \geqslant 4} \right) = \)

[0 / 1 P.]