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Aufgabe 3054

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe - Best-of-Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Biathlon

Biathlon ist eine Wintersportart, die Skilanglauf und Schießen kombiniert. Bei einem bestimmten Wettbewerb müssen drei Runden zu je 2 500 m absolviert werden. Dabei gilt:

  • Nach der ersten und nach der zweiten absolvierten Runde findet jeweils ein Schießen statt. Bei jedem Schießen werden fünf Schüsse abgegeben.
  • Für jeden Fehlschuss muss eine 150 m lange Strafrunde absolviert werden, wodurch es zu einem Zeitverlust kommt.

Quelle: https://www.sport1.de/wintersport/biathlon/2018/11/biathlon-im-ueberbli…
[15.04.2021].

Teil a

Lisa absolviert die drei Runden mit folgenden durchschnittlichen Geschwindigkeiten (v1, v2, v3 in m/s): v1 für die erste Runde; v2 für die zweite Runde; v3 für die dritte Runde

  • Für das Schießen benötigt Lisa jeweils die Zeitdauer t* (t* in s).
  • Nach der ersten absolvierten Runde macht sie beim Schießen keinen Fehler.
  • Nach der zweiten absolvierten Runde macht sie beim Schießen genau 2 Fehler.
  • Die 2 Strafrunden absolviert sie mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von vS (vS in m/s).

Unter der Laufzeit b (b in s) versteht man diejenige Zeit, die Lisa insgesamt für die absolvierten Runden inklusive Strafrunden und für das Schießen benötigt.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie mithilfe von v1, v2, v3, t* und vS eine Formel zur Berechnung von b auf.

[0 / 1 P.]

Lösungsweg

1. Teilaufgabe:

Die konstante Geschwindigkeit ist der Quotient aus zurückgelegtem Weg und der dafür benötigten Zeit. Wie machen die Zeit t explizit:

\(v = \dfrac{s}{t} \to t = \dfrac{s}{v}\)

 

Nun analysieren wir die Angabe wie folgt:

  • 3 Runden mit gleichem Weg aber unterschiedlicher Zeit (Lisa ermüdet):
    \(t = \dfrac{{2500}}{{{v_1}}} + \dfrac{{2500}}{{{v_2}}} + \dfrac{{2500}}{{{v_3}}}\)
  • 2-mal Schießen (nach der 1. und 2. Runde):
    \(t = 2 \cdot {t^ * }\)
  • 2 Strafrunden a 150m mit vs:
    \(t = \dfrac{{150 + 150}}{{{v_S}}}\)

Gemäß dem Motto: „Namen sind Schall und Rauch“ ersetzen wir t durch b, weil b in der Angabe als Variable für die Laufzeit vorgegeben ist. Wir addieren die einzelnen Zeiten wie folgt und erhalten die gesuchte Gleichung:

\(t = b = \dfrac{{2500}}{{{v_1}}} + \dfrac{{2500}}{{{v_2}}} + \dfrac{{2500}}{{{v_3}}} + 2 \cdot {t^*} + \dfrac{{300}}{{{v_s}}}\)

Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.

Initiieren Sie das Laden des Videos, werden womöglich personenbezogene Daten in die USA zur Nutzeranalyse durch YouTube übermittelt. Datenschutzbestimmungen von YouTube

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

1. Teilaufgabe

\(b = \dfrac{{2500}}{{{v_1}}} + \dfrac{{2500}}{{{v_2}}} + \dfrac{{2500}}{{{v_3}}} + 2 \cdot {t^*} + \dfrac{{300}}{{{v_s}}}\)

Lösungsschlüssel:

1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.