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Aufgabe 3055

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe - Best-of-Wertung
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Biathlon

Biathlon ist eine Wintersportart, die Skilanglauf und Schießen kombiniert. Bei einem bestimmten Wettbewerb müssen drei Runden zu je 2 500 m absolviert werden.

Teil b

Die Geschwindigkeit von Hanna in der ersten Runde kann modellhaft durch die Funktion
v: [0; 440] → ℝ, t ↦ v(t) beschrieben werden (t in s, v(t) in m/s).

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Interpretieren Sie

\(\dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_0^T {v\left( t \right)} \,\,dt{\text{ mit }}T \in \left( {0s;440s} \right)\)

im gegebenen Sachzusammenhang.

[0 / 1 P.]

Es gibt genau zwei Zeitpunkte 
\({t_1},{t_2} \in \left( {0s;440s} \right){\text{ mit }}{t_1} < {t_2}\)

für die gilt:

\(\begin{gathered} v'\left( {{t_1}} \right) = 0{\text{ und }}v''\left( {{t_1}} \right) < 0 \hfill \\ v'\left( {{t_2}} \right) = 0{\text{ und }}v''\left( {{t_2}} \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \)
 

  • Satzteil 1.1: lokale Minimumstellen
  • Satzteil 1.2: lokale Maximumstellen
  • Satzteil 1.3: Wendestellen

 

  • Satzteil 2.1: durchschnittlichen Geschwindigkeit
  • Satzteil 2.2: Länge der zurückgelegten Strecke
  • Satzteil 2.3: durchschnittlichen Beschleunigung
     

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.

Die Zeitpunkte t1 und t2 sind _____1_____ der Funktion v und der Wert von \(\dfrac{{v\left( {{t_2}} \right) - \left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\)  entspricht dabei der _____2_____  im Zeitintervall [t1; t2].
[0 / ½ / 1 P.]

Lösungsweg

1. Teilaufgabe:

Aus der Weg-Zeit-Funktion \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} \,\,dt\) wissen wir, dass die Fläche unter der Geschwindigkeitsfunktion v(t) und über der x-Achse, dem zurückgelegten Weg s entspricht. Dieser zurückgelegte Weg wird mit 1/T multipliziert, bzw. was auf das selbe rauskommt, durch T dividiert.

Um zu erkennen welche physikalische Größe dabei herauskommt schauen wir und die Einheiten an:

\(\eqalign{ & \dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_0^T {v\left( t \right)} \,\,dt \cr & \left[ {\dfrac{1}{s}} \right] \cdot \left[ m \right] = \dfrac{{\left[ m \right]}}{{\left[ s \right]}} \buildrel \wedge \over = v \cr} \)

Das Resultat muss also eine Geschwindigkeit sein.

Da wir über die Zeit im Zeitintervall [0; T] integrieren, muss es sich um einen Differenzenquotient handeln, somit also um die mittlere oder durchschnittliche Geschwindigkeit. Wir können die Antwort wie folgt formulieren:

→ Der Ausdruck beschreibt die durchschnittliche Geschwindigkeit im Zeitintervall [0; T].

2. Teilaufgabe:

Wir analysieren den Satzteil 1 wie folgt:

  • Satzteil 1.1: Für ein Minimum muss gelten:
    \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\)
  • Satzteil 1.2: Für ein Maximum muss gelten:
    \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\)
    → Satzteil 1.2 ist richtig
  • Satzteil 1.3: Für eine Wendestelle muss gelten:
    \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\)

 

Für die Entscheidung bezüglich Satzteil 2 stellen wir eine Einheitengleichung wie folgt auf:
\(\dfrac{{v\left( {{t_2}} \right) - \left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}} \buildrel \wedge \over = \dfrac{{\left[ {\dfrac{m}{s}} \right]}}{{\left[ s \right]}} = \dfrac{{\left[ m \right]}}{{\left[ {{s^2}} \right]}} = a\)

Es liegt also eine Beschleunigung a vor → Satzteil 2.3 ist richtig

 

→ Die Zeitpunkte t1 und t2 sind lokale Maximumstellen der Funktion v und der Wert von \(\dfrac{{v\left( {{t_2}} \right) - \left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\) entspricht dabei der durchschnittlichen Beschleunigung im Zeitintervall [t1; t2].

Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.

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Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

1. Teilaufgabe
Der Ausdruck beschreibt die durchschnittliche Geschwindigkeit im Zeitintervall [0; T].

2. Teilaufgabe
Die Zeitpunkte t1 und t2 sind lokale Maximumstellen der Funktion v und der Wert von \(\dfrac{{v\left( {{t_2}} \right) - \left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\) entspricht dabei der durchschnittlichen Beschleunigung im Zeitintervall [t1; t2].

Lösungsschlüssel:

1. Teilaufgabe

Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.

2. Teilaufgabe

Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile, ein halber Punkt, wenn nur ein richtiger Satzteil angekreuzt ist.