Aufgabe 1416
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sehwinkel
Der Sehwinkel ist derjenige Winkel, unter dem ein Objekt von einem Beobachter wahrgenommen wird. Die nachstehende Abbildung verdeutlicht den Zusammenhang zwischen dem Sehwinkel α, der Entfernung r und der realen („wahren“) Ausdehnung g eines Objekts in zwei Dimensionen.
Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d3/ScheinbareGroesse.png [22.01.2015] (adaptiert)
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Formel an, mit der die reale Ausdehnung g dieses Objekts mithilfe von \(\alpha\) und r berechnet werden kann!
g =
Lösungsweg
Wenn wir den halben Sehwinkel \(\dfrac{\alpha }{2}\) heranziehen, dann erkennen wir ein rechtwinkeliges Dreieck.
- Dieses rechtwinkelige Dreieich hat entlang vom Sehstrahl seine Hypotenuse (Seite die dem rechten Winkel gegenüber liegt) deren Länge wir nicht kennen...
- Wir kennen aber die Ankathete r
- Weiters kennen wir den den Winkel \(\dfrac{\alpha }{2}\)
- Die Gegenkathete ist g/2, das ist die Hälfte der gesuchten Ausdehnung g vom Objekt
Wir werden das rechtwinkelige Dreieck, welches durch den Sehstrahl, die Ankathete r und die halbe Gegenkathete g/2 aufgespannt wird mit Hilfe vom Tangens beschreiben:
\(\tan \alpha = \dfrac{a}{b} = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)
Gemäß der nachfolgende Skizze gilt:
\(\eqalign{ & \tan \left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right) = \dfrac{{\dfrac{g}{2}}}{r}\,\,\,\,\,\left| { \cdot r} \right. \cr & r \cdot \tan \left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right) = \frac{g}{2}\,\,\,\,\,\left| { \cdot 2} \right. \cr & g = 2 \cdot r \cdot \tan \left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right) \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(g = 2 \cdot r \cdot \tan \left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right){\text{ mit }}\alpha \in \left( {0;180^\circ } \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Formel, wobei der Definitionsbereich von \(\alpha\) nicht angegeben werden muss. Äquivalente Ausdrücke sind ebenfalls als richtig zu werten.