Aufgabe 5693
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Niedrigzinsphase – Aufgabe B_568
Infolge der Finanzmarktkrise 2008 entstand eine über Jahre andauernde Phase niedriger Zinsen.
Teil c
In 8 Jahren sollen € 50.000 angespart werden. Die nachstehende Gleichung beschreibt den Ansparplan für einen positiven Jahreszinssatz.
\(R \cdot \dfrac{{{q^3} - 1}}{{q - 1}} \cdot {q^5} + 20000 \cdot {q^2} = 50000\)
- R ... Rate
- q ... jährlicher Aufzinsungsfaktor
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Tragen Sie alle Raten R und den Betrag in Höhe von € 20.000 auf der nachstehenden Zeitachse ein.
[0 / 1 / 2 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Höhe der Rate R für den Fall, dass der Zinssatz 0 % p. a. ist.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Auf der rechten Seite der gegebenen Gleichung wird der Betrag von 50000€ weder auf- noch abgezinst. Er findet sich auch auf der Zeitachse in unveränderter Höhe wieder. Daher muss der Bezugszeitpunkt das Ende vom 8. Jahr des Ansparplans sein.
Die 20000 € werden, gemäß n=2 zweimal aufgezinst. Sie müssen daher 2 Jahre vor dem Bezugszeitpunkt eingezahlt worden sein. Also am Ende des 6. Jahres.
Beim 1. Summanden handelt es sich um den Endwert einer nachschüssig Rente mit 3 Raten, der gemäß n=5 fünfmal aufgezinst wird. Die letzte der 3 Raten muss daher 5 Jahre vor dem Bezugszeitpunkt eingezahlt worden sein. Also am Ende des 3. Jahres. Die beiden anderen Raten liegen jeweils ein Jahr davor.
Somit ergibt sich folgende Zeitachse:
2. Teilaufgabe
Wir setzen in die gegebene Gleichung wie folgt ein….
\(\begin{array}{l} R \cdot \dfrac{{{q^3} - 1}}{{q - 1}} \cdot {q^5} + 20000 \cdot {q^2} = 50000\\ \\ q = 1 + i = 1 + 0 = 1\\ \\ R \cdot \dfrac{{{1^3} - 1}}{{1 - 1}} \cdot {1^5} + 20000 \cdot {1^2} = 50000\\ R \cdot \dfrac{0}{0} \cdot 1 + 20000 \cdot 1 = 50000\\ \dfrac{0}{0}{\rm{ }}....{\rm{ nicht definiert}} \end{array}\)
… und erhalten eine nicht definierte Aussage.
Versuchen wir es intuitiv:
Wenn der Zinssatz 0% beträgt, dann erhalten wir keine Zinsen. Dh das einzige Geld, welches wir ansparen, ist das Geld welches wir selbst einzahlen, um schlußendlich 50000€ Guthaben zu haben. Wir zahlen 3-mal die Rate R und 1-mal 20000 € ein. Somit:
\(\begin{array}{l} 3 \cdot R + 20000 = 50000\,\,\,\,\,\left| { - 20000} \right.\\ 3 \cdot R = 30000\,\,\,\,\,\left| {:3} \right.\\ R = \dfrac{{30000}}{3} = 10000 \end{array}\)
→ Die Rate beträgt 10000 €
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
2. Teilaufgabe
Die Rate beträgt 10000 €
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
- Ein Punkt für das richtige Eintragen der Raten.
- Ein Punkt für das richtige Eintragen des Betrags in Höhe von € 20.000.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen von R.