Aufgabe 5683
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Piratenschiff – Aufgabe B_572
Piratenschiff ist ein Spiel im Turnunterricht. Für dieses Spiel wird ein Parcours mit Turngeräten als Hindernissen aufgebaut, in dem Fangen gespielt wird.
Teil b
Auf einer Reckstange, die in der Höhe r montiert ist, werden zwei Langbänke mit den Längen b1 und b2 eingehängt (siehe nachstehende modellhafte Skizze in der Ansicht von der Seite).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Vervollständigen Sie die nachstehende Formel zur Berechnung des Winkels α. Verwenden Sie dabei r, b1 und b2.
\(\alpha = \arccos \left( ? \right) + \arccos \left( ? \right)\)
[0 / 1 P.]
Es gilt:
b1 = 4,5 m, b2 = 3 m und α = 131°
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Länge d.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Wie wir der Illustration entnehmen können, handelt es sich um 2 rechtwinkelige Dreiecke, welche sich die Kathete r teilen. Der gesuchte Winkel Alpha setzt sich aus 2 Teilwinkeln wie folgt zusammen:
\(\begin{array}{l} \alpha = {\alpha _1} + {\alpha _2}\\ \\ \cos \left( {{\alpha _1}} \right) = \dfrac{{{\rm{Ankathete}}}}{{{\rm{Hypotenuse}}}} = \dfrac{r}{{{b_1}}} \to {\alpha _1} = \arccos \left( {\dfrac{r}{{{b_1}}}} \right)\\ \cos \left( {{\alpha _2}} \right) = \dfrac{{{\rm{Ankathete}}}}{{{\rm{Hypotenuse}}}} = \dfrac{r}{{{b_2}}} \to {\alpha _1} = \arccos \left( {\dfrac{r}{{{b_2}}}} \right)\\ \\ \alpha = \arccos \left( {\dfrac{r}{{{b_1}}}} \right) + \arccos \left( {\dfrac{r}{{{b_2}}}} \right) \end{array}\)
2. Teilaufgabe
Mit dem Kosinussatz kann die 3. Seite eines allgemeinen Dreiecks berechnen, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind. Wichtig: Der Kosinussatz gilt auch in Dreiecken OHNE rechtem Winkel.
\(\begin{array}{l} {d^2} = {b_1}^2 + {b_2}^2 - 2 \cdot {b_1} \cdot {b_2} \cdot \cos \left( \alpha \right)\\ d = \sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2 - 2 \cdot {b_1} \cdot {b_2} \cdot \cos \left( \alpha \right)} \\ d = \sqrt {{{4,5}^2} + {3^2} - 2 \cdot 4,5 \cdot 3 \cdot \cos \left( {131^\circ } \right)} \approx 6,853\\ \\ d \approx 6,853\,{\rm{m}} \end{array}\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(\alpha = \arccos \left( {\dfrac{r}{{{b_1}}}} \right) + \arccos \left( {\dfrac{r}{{{b_2}}}} \right)\)
2. Teilaufgabe
\(d \approx 6,853\,{\rm{m}}\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Vervollständigen der Formel.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Länge d.