Aufgabe 4498
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Martinigläser - Aufgabe B_523
Teil b
In der nachstehenden Abbildung ist der obere Teil eines teilweise befüllten Martiniglases dargestellt. Dabei handelt es sich um einen Drehkegel mit dem Durchmesser D und der Höhe H.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Formel zur Berechnung von z auf. Verwenden Sie dabei H, D und x.
z =
[0 / 1 P.]
Dieses Martiniglas ist bis zur Höhe x befüllt. Das Füllvolumen entspricht dabei dem halben Volumen des Drehkegels mit dem Durchmesser D und der Höhe H.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeigen Sie allgemein, dass die Höhe x rund 80 % der Höhe H beträgt.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Ähnliche Dreiecke haben zwar gleiche Winkel, aber unterschiedliche Seitenlängen, die jedoch denselben Streckungsfaktor aufweisen.
\(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\)
Auf das Martiniglas umgelegt:
\(\eqalign{ & \dfrac{z}{D} = \dfrac{x}{H} \cr & z = \frac{D}{H} \cdot x \cr} \)
2. Teilaufgabe:
Für das Volumen V des Drehkegels mit dem Radius r und der Höhe h gilt gemäß Formelsammlung:
\(V = {r^2} \cdot \pi \cdot \dfrac{h}{3}\)
1. Gleichung:
Für das Volumen Vkl des kleinen Drehkegels mit dem Radius z/2 und der Höhe x gilt entsprechend:
\({V_{kl}} = {\left( {\dfrac{z}{2}} \right)^2} \cdot \pi \cdot \dfrac{x}{3}\)
2. Gleichung:
Für das Volumen Vgr des großen Drehkegels mit dem Radius D/2 und der Höhe H gilt entsprechend:
\({V_{gr}} = {\left( {\dfrac{D}{2}} \right)^2} \cdot \pi \cdot \dfrac{H}{3}\)
3. Gleichung:
Weiters kennen wir aus der Angabe den Zusammenhang zwischen den beiden Volumina:
\({V_{kl}} = \dfrac{{{V_{gr}}}}{2}\)
4. Gleichung:
Aus der 1. Teilaufgabe kennen wir den folgenden Zusammenhang:
\(z = \dfrac{D}{H} \cdot x\)
Mit Hilfe der 4. Gleichung eliminieren z aus der 1. Gleichung.
Dann setzen die 1. und die 2. Gleichung in in die 3. Gleichung ein:
\(2 \cdot {\left( {\dfrac{{\frac{{D \cdot x}}{H}}}{2}} \right)^2} \cdot \pi \cdot \dfrac{x}{3} = {\left( {\dfrac{D}{2}} \right)^2} \cdot \pi \cdot \dfrac{H}{3}\)
Nun machen wir x explizit
\(\eqalign{ & 2 \cdot \dfrac{{{D^2} \cdot {x^2}}}{{4 \cdot {H^2}}} \cdot \pi \cdot \dfrac{x}{3} = {\left( {\dfrac{D}{2}} \right)^2} \cdot \pi \cdot \frac{H}{3} \cr & {x^3} \cdot \dfrac{{2 \cdot {D^2} \cdot \pi }}{{{H^2} \cdot 3 \cdot 4}} = \dfrac{{{D^2} \cdot \pi \cdot H}}{{4 \cdot 3}} \cr & {x^3} = \dfrac{{{D^2} \cdot \pi \cdot H \cdot {H^2} \cdot 3 \cdot 4}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot {D^2} \cdot \pi }} = \dfrac{{{H^3}}}{2} \cr & x = \root 3 \of {\dfrac{{{H^3}}}{2}} = H \cdot \root 3 \of {\dfrac{1}{2}} \approx 0,7937 \approx 0,8{\text{ wzbw.}} \cr} \)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(z = \dfrac{D}{H} \cdot x\)
2. Teilaufgabe
\(x = H \cdot \root 3 \of {\dfrac{1}{2}} \approx 0,7937 \approx 0,8\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Zeigen.