Aufgabe 4426
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parkgarage - Aufgabe B_485
Eine Baugesellschaft errichtet eine Parkgarage. Es wird eine Nutzungsdauer von 40 Jahren angenommen. Die Baugesellschaft rechnet mit einem kalkulatorischen Zinssatz von 4 % p. a.
Teil b
Die Wartungskosten (in €) werden mit W1 nach 10 Jahren, W2 nach 20 Jahren und W3 nach 30 Jahren veranschlagt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie mithilfe von W1, W2 und W3 eine Formel zur Berechnung des Barwerts B der gesamten Wartungskosten.
B =
[1 Punkt]
W1 und W2 werden mit jeweils € 60.000 veranschlagt. Der Barwert B betragt € 92.582,56.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie W3.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Der Barwert ist ein Maß für den Wert, der einer zukünftigen Zahlung in der Gegenwart entspricht.
\({K_0} = \dfrac{{{K_n}}}{{{q^n}}} = \dfrac{{{K_n}}}{{{{\left( {1 + i} \right)}^n}}}\)
Der Barwert der 3 Zahlungen ergibt sich somit in Abhängigkeit von den Jahren, um die abzuzinsen ist, wie folgt:
\(\eqalign{ & i = 0,04 \to q = 1,04 \cr & {K_0} = B = \dfrac{{{W_1}}}{{{{1,04}^{10}}}} + \dfrac{{{W_2}}}{{{{1,04}^{20}}}} + \dfrac{{{W_3}}}{{{{1,04}^{30}}}} \cr} \)
2. Teilaufgabe:
Wir setzen in die Formel aus der 1. Teilaufgabe wie folgt ein:
\(\eqalign{ & i = 0,04 \to q = 1,04 \cr & {W_1} = {W_2} = 60000\mbox{€} \cr & \cr & {K_0} = B = \frac{{60000}}{{{{1,04}^{10}}}} + \frac{{60000}}{{{{1,04}^{20}}}} + \frac{{{W_3}}}{{{{1,04}^{30}}}} = 92582,56 \cr & {W_3} \approx 80000\mbox{€} \cr} \)
Die Lösung der Gleichung erfolgte mit Hilfe von Wolfram Alpha:
(60000)/(1.04^(10))+(60000)/(1.04^(20))+(W)/(1.04^(30))=92582.56
→ Die Wartungskosten W3 betragen € 80.000.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(B = \dfrac{{{W_1}}}{{{{1,04}^{10}}}} + \dfrac{{{W_2}}}{{{{1,04}^{20}}}} + \dfrac{{{W_3}}}{{{{1,04}^{30}}}}\)
2. Teilaufgabe
Die Wartungskosten W3 betragen € 80.000.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × A: für das richtige Erstellen der Formel
2. Teilaufgabe
1 × B: für das richtige Berechnen von W3