Aufgabe 4117
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Höhe der Wolkenuntergrenze - Aufgabe B_110
Die Höhe der Wolkenuntergrenze kann auf verschiedene Arten näherungsweise bestimmt werden.
Teil a
Die Höhe der Wolkenuntergrenze wurde früher mithilfe eines Nachtwolkenscheinwerfers bestimmt. Folgende Anweisung musste man dabei befolgen: „Platzieren Sie auf einer horizontalen Ebene den Scheinwerfer in einem Punkt P so, dass sein Lichtstrahl senkrecht nach oben gerichtet ist. Dort erzeugt er auf der Wolkenuntergrenze in der Höhe h einen punktförmigen Lichtfleck L. Begeben Sie sich in einen anderen Punkt Q dieser Ebene und messen Sie die Streckenlänge PQ. Messen Sie den Höhenwinkel α, unter dem der Lichtfleck L nun von Punkt Q aus gesehen wird.“
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Veranschaulichen Sie den beschriebenen Sachverhalt mithilfe einer Skizze. Beschriften Sie P, Q, L, h und α in dieser Skizze.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Formel, mit deren Hilfe man die Höhe der Wolkenuntergrenze h mit den gemessenen Größen bestimmen kann.
h = ________
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
- Wir legen den Punkt P an einer beliebigen Stelle fest.
- Senkrecht darüber muss der Punkt L liegen.
- Waagrecht neben P - am zweidimensionalen Zeichenblatt also linkes oder rechts neben P, muss Q liegen.
- Alpha ist der Winkel in Q, mit den Schenkeln QP bzw. QL.
2. Teilaufgabe:
Wir kennen den Winkel α aus der Messung und ebenso die Ankathete \(\overline {PQ} \) vom Winkel α. Wir suchen die Gegenkathete vom Winkel α. Dafür bietet sich der Tangens an, gemäß:
\(\eqalign{ & \tan \left( \alpha \right) = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}} \cr & {\text{Gegenkathete}} = \tan \left( \alpha \right) \cdot {\text{Ankathete}} \cr & h = \tan \left( \alpha \right) \cdot \overline {PQ} \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
2. Teilaufgabe:
\(h = \tan \left( \alpha \right) \cdot \overline {PQ} \)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × A1: Für das richtige Veranschaulichen in der Skizze (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × A2: Für das richtige Erstellen der Formel (KB)