Aufgabe 5676
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gartensauna – Aufgabe A_328
Teil a
In der nachstehenden Abbildung ist die Grundfläche einer Gartensauna in der Ansicht von oben modellhaft dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Winkel γ ein rechter Winkel ist.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung die Strecke a ein, deren Länge mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet werden kann.
\(a = 1,95 \cdot \sin \left( \alpha \right)\)
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Da der Winkel γ laut Angabe ein rechter Winkel ist, muss der Satz des Pythagoras gelten. Umgekehrt formuliert, wenn wir zeigen, dass der Satz des Pythagoras gilt, muss der Winkel γ ein rechter Winkel sein.
\({a^2} + {b^2} = {c^2}\)
Wir machen c explizit und setzen wie folgt ein:
\(\sqrt {{{0,75}^2} + {{1,8}^2}} = 1,95 = c\,\,\,\,\,{\text{wzbw}}\)
2. Teilaufgabe
Im rechtwinkeligen Dreieck gilt, dass der Sinus vom Winkel α dem Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse entspricht. Wir formen die gegebene Gleichung wie folgt um:
\(\sin \left( \alpha \right) = \dfrac{{{\text{Ankathete}}}}{{{\text{Hypotenuse}}}} = \dfrac{a}{{1,95}}\)
Wir benötigen daher ein rechtwinkeliges Dreieck, dessen Hypotenuse die strichliert eingezeichnete Seite mit 1,96m Länge ist und dessen dem Winkel Alpha gegenüber liegende Seite, - die Ankathete - die gesuchte Seite a ist. Also können wir wie folgt einzeichnen:
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(\sqrt {{{0,75}^2} + {{1,8}^2}} = 1,95 = c\,\,\,\,\,{\text{wzbw}}\)
2. Teilaufgabe
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige rechnerische Nachweisen.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Einzeichnen von a. Für die Punktevergabe ist ein Kennzeichnen des rechten Winkels beim Einzeichnen von a nicht relevant.