Aufgabe 4208
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eiffelturm - Aufgabe A_287
Teil c
Von Punkt P aus sieht man den höchsten Punkt des H Meter hohen Eiffelturms unter dem Höhenwinkel α und die h Meter hohe Spitze unter dem Sehwinkel β (siehe nachstehende Abbildung).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so, dass eine korrekte Aussage entsteht. [Lückentext]
[1 Punkt]
Die Höhe _____1_____ ist durch den Ausdruck _____2____ gegeben
1. Lücke:
- Aussage A: H
- Aussage B: h
- Aussage C: H-h
2. Lücke:
- Aussage I: \(d \cdot \tan \left( {\alpha + \beta } \right)\)
- Aussage II: \(d \cdot \tan \left( {\alpha - \beta } \right)\)
- Aussage III: \(d \cdot \tan \left( \beta \right)\)
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Zunächst einmal rufen wir uns die Definition vom Tangens in Erinnerung. Der Tangens ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete:
\(\tan \varphi = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}}\)
Wir formen die Gleichung wie folgt um, damit sie der Form gemäß der Angabe entspricht:
\({\text{Gegenkathete = Ankathete}} \cdot \tan \varphi \)
Achtung: Man kann es aus der Illustration nicht gut ablesen, aber aus dem Text ergibt sich, dass der Winkel \(\alpha \) den kleinere Winkel \(\beta \) beinhaltet. Der Strecke H-h liegt also der Winkel \(\alpha - \beta \) gegenüber.
Die Ankathete ist immer d, somit kann man für die beiden zugehörigen rechtwinkeligen Dreiecke wie folgt anschreiben:
\(\eqalign{ & H = d \cdot \tan \left( \alpha \right) \cr & H - h = d \cdot \tan \left( {\alpha - \beta } \right) \cr} \)
In den angebotenen Lösungen kommt nur das 2. Pärchen vor, somit lautet der Satz wie folgt:
→ Die Höhe H-h ist durch den Ausdruck \(d \cdot \tan \left( {\alpha - \beta } \right)\) gegeben.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Die Höhe H-h ist durch den Ausdruck \(d \cdot \tan \left( {\alpha - \beta } \right)\) gegeben
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × A: für das richtige Ergänzen der beiden Textlücken