Aufgabe 4186
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Luftverschmutzung - Aufgabe A_075
Teil b
In Linz ist die Staubbelastung der Luft im Zeitraum von 1985 bis 1996 stark zurückgegangen. Im Jahr 1985 wurde die Luft in Linz mit 11 000 t Staub belastet. Im Jahr 1996 waren es nur noch 3 000 t. Im Zuge eines Forschungsprojekts hat man erkannt, dass die Funktion S, die die Staubbelastung S(t) in Tonnen in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren angibt, annähernd linear ist.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie mithilfe der obigen Daten eine Gleichung dieser linearen Funktion. Wählen Sie t = 0 für das Jahr 1985.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Funktionswert für das Jahr 2001 gemäß diesem Modell.
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erklären Sie, warum der berechnete Funktionswert für das Jahr 2001 im gegebenen Sachzusammenhang nicht sinnvoll ist.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Vom 31.12.1985 sind es 11 volle Jahre bis zum 31.12.1996. Somit gilt:
\(\begin{array}{l} {t_0}(1985) = 11000t = {S_0}\\ {t_{11}}\left( {1996} \right) = 3000t = {S_{11}} \end{array}\)
Wir stellen die Gleichung einer linearen Funktion auf und passen die Variablen an die Angabe an:
\(\begin{array}{l} y = k \cdot x + d\\ S\left( t \right) = k \cdot t + {S_0} \end{array}\)
S0 kennen wir bereits - siehe oben. Den Anstieg k können wir wie folgt ausrechnen:
\(k = \dfrac{{{S_{11}} - {S_0}}}{{{t_{11}} - {t_0}}} = \dfrac{{3000 - 11000}}{{11}} \approx - 727,27\)
Somit können wir die gesuchte Funktion wie folgt anschreiben:
\(S\left( t \right) = - 727,3 \cdot t + 11000\)
2. Teilaufgabe:
Das Jahr 2001 ist das 16. Jahr vom Bezugsjahr 1985 aus gerechnet. Wir setzen daher t=16 in die Funktion aus der 1. Teilaufgabe ein und erhalten:
\(\begin{array}{l} S\left( t \right) = - 727,3 \cdot t + 11000\\ S(t = 16) = - 727,3 \cdot 16 + 11000 = - 636,36 \end{array}\)
→ Der gesuchte Funktionswert lautet: \(S(2001) = - 636,36\)
3. Teilaufgabe:
Laut dem gewählten Modell und gemäß der 2. Teilaufgabe gilt: \(S(2001) = - 636,36\). Eine Staubbelastung kann aber nicht negativ sein. Daher ist der Funktionswert für das Jahr 2001 im gegebenen Sachzusammenhang nicht sinnvoll.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\(S\left( t \right) = - 727,3 \cdot t + 11000\)
2. Teilaufgabe:
Der gesuchte Funktionswert lautet: \(S(2001) = - 636,36\)
3. Teilaufgabe:
Eine Staubbelastung kann aber nicht negativ sein. Daher ist der Funktionswert für das Jahr 2001 im gegebenen Sachzusammenhang nicht sinnvoll.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung
2. Teilaufgabe:
1 × B: für die richtige Berechnung des Funktionswerts
3. Teilaufgabe:
1 × D: für die richtige Erklärung