Aufgabe 4128
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-A Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kugelstoßen - Aufgabe A_268
Teil b
Kugelstoßen ist eine Disziplin bei den Olympischen Sommerspielen. Eine Metallkugel muss so weit wie möglich aus einem Kreis in einen vorgegebenen Aufschlagbereich gestoßen werden. Der Aufschlagbereich ist in der nachstehenden Abbildung in der Ansicht von oben dargestellt (alle Angaben in Metern).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den in der obigen Abbildung markierten Winkel α.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Markieren Sie in der obigen Abbildung diejenige Strecke, deren Länge durch den folgenden Ausdruck berechnet werden kann:
\(\dfrac{6}{{\tan \left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right)}}\)
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Wir betrachten das rechtwinkelige Dreieck, von dem wir 2 Seiten kennen und einen Winkel kennen.
- Da ist einmal die Gegenkathete zum Winkel α mit einer Länge von 6m.
- Dann ist da noch die Hypotenuse mit einer Länge von 20m
Der Winkel im rechtwinkeligen Dreieck beträgt \(\dfrac{\alpha }{2}\)
Der Sinus liefert uns die gesuchte Beziehung: \(\sin = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{\text{Hypotenuse}}\)
\(\sin \left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right) = \dfrac{6}{{20}}\)
Damit wir den Winkel selbst erhalten, müssen wir jedoch den arcsin verwenden
\(\eqalign{ & \left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{6}{{20}}} \right) \cr & \alpha = 2 \cdot \arcsin \left( {\dfrac{6}{{20}}} \right) \approx 34,915^\circ \cr} \)
→ Der gesuchte Öffnungswinkel beträgt ca. 34,92°
2. Teilaufgabe:
Wenn wir Tangens lesen, denken wir sofort an das Verhältnis von der Gegen- zur Ankathete
\(\tan \left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right) = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \dfrac{6}{{{\text{Ankathete}}}} \to {\text{Ankathete}} = \dfrac{6}{{\tan \left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right)}}\)
→ Es handelt sich daher um die Ankathete vom rechtwinkeligen Dreieck.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Der gesuchte Öffnungswinkel beträgt ca. 34,92°
2. Teilaufgabe:
Es handelt sich daher um die Ankathete vom rechtwinkeligen Dreieck.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe1 x B: für die richtige Berechnung des Winkels α
2. Teilaufgabe
1 x C: für das richtige Markieren der Strecke