Aufgabe 1389
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parabeln zuordnen
Gegeben sind die Graphen von sechs Funktionen f1, f2, f3, f4, f5 und f6 mit der Gleichung \({f_i}\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b\) mit \(a,b \in {\Bbb R}{\text{ und }}a \ne 0{\text{ }}\left( {{\text{i von 1 bis 6}}} \right)\).
- Graph 1 der Funktion f1
- Graph 2 der Funktion f2
- Graph 3 der Funktion f3
- Graph 4 der Funktion f4
- Graph 5 der Funktion f5
- Graph 6 der Funktion f6
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den folgenden Eigenschaften / Aussagen (A..D) jeweils den entsprechenden Graphen der dargestellten Funktionen (aus 1 bis 6) zu!
- Aussage A: a < 0 und b < 0
- Aussage B: a < 0 und b > 0
- Aussage C: a > 0 und b < 0
- Aussage D: a > 0 und b > 0
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Nachfolgendes Video, welches Lernende durch Hinweise dabei unterstützt, selbst einen geeigneten Lösungsweg zu finden, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
Initiieren Sie das Laden des Videos, werden womöglich personenbezogene Daten in die USA zur Nutzeranalyse durch YouTube übermittelt. Datenschutzbestimmungen von YouTube
Lösungsweg
Folgende Überlegungen:
- Bei einer quadratischen Funktion vom Typ \({f_i}\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b\) ist der 1. Term, also \(a \cdot {x^2}\), ausschließlich vom Vorzeichen von a abhängig, da x2 für alle x wegen des Quadrats immer positiv sein muss. Dh wenn a>0 also positiv ist, dann wird der Graph zunächst einmal nur im Bereich der positiven y-Achse liegen und umgekehrt.
- Bei einer quadratischen Funktion vom Typ \({f_i}\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b\) bewirkt der 2. Term, also "b" lediglich eine Parallelverschiebung vom Graphen entlang der y-Achse und zwar bei b>0, also positivem b, in Richtung der positiven y-Achse und umgekehrt. Bei b=0 verläuft der Graph durch den Ursprung.
Daraus können wir folgende Regeln ableiten:
- Wenn a>0, dann verläuft der Graph der Funktion im 2. Quadranten abfallend und im 1. Quadranten ansteigend
- Wenn a<0, dann verläuft der Graph der Funktion im 3. Quadranten ansteigend und im 4. Quadranten abfallend
- Wenn b>0, dann schneidet der Graph die positive y-Achse
- Wenn b<0, dann schneidet der Graph die negative y-Achse
Analysieren wir nun die Graphen A.. F nach den oben angeführten Regeln für "a" und "b":
- Graph 1: a>0 und b=0 → scheidet sofort aus, wegen b=0 aus
- Graph 2: a<0 und b>0 → Aussage B
- Graph 3: a>0 und b>0 → Aussage D
- Graph 4: a<0 und b<0 → Aussage A
- Graph 5: a>0 und b<0 → Aussage C
- Graph 6: a<0 und b=0 → scheidet sofort aus, wegen b=0 aus
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage A: Graph 4
- Aussage B: Graph 2
- Aussage C: Graph 5
- Aussage D: Graph 3
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jeder der vier Aussagen ausschließlich die richtige Option zugeordnet ist.