Aufgabe 1021
AHS - 1_021 & Lehrstoff: FA 5.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentialfunktionen
Gegeben ist die Exponentialfunktion f mit \(f\left( x \right) = {e^x}\)
- Aussage 1: Die Steigung der Tangente an der Stelle x = 0 des Graphen hat den Wert 0.
- Aussage 2: Wird das Argument x um 1 erhöht, dann steigen die Funktionswerte auf das e-Fache.
- Aussage 3: Die Steigung der Tangente an der Stelle x = 1 des Graphen hat den Wert e.
- Aussage 4: Wird das Argument x um 1 vermindert, dann sinken die Funktionswerte auf das 1/e Fache.
- Aussage 5: Der Graph von f hat an jeder Stelle eine positive Krümmung.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil die Steigung der Tangente der 1. Ableitung der Funktion entspricht, und diese ungleich 0 ist:
\(f\left( x \right) = {e^x} \to f'\left( x \right) = {e^x} \to f'\left( {x = 0} \right) = {e^0} = 1 \ne 0\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil
\(f\left( x \right) = {e^x} \to f\left( {x + 1} \right) = {e^{x + 1}} = {e^x} \cdot {e^1} = e \cdot f\left( x \right)\)
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil die Steigung der Tangente der 1. Ableitung der Funktion entspricht und sich für x=1 wie folgt errechnet:
\(f\left( x \right) = {e^x} \to f'\left( x \right) = {e^x} \to f'\left( {x = 1} \right) = {e^1} = e\)
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil
\(f\left( x \right) = {e^x} \to f\left( {x - 1} \right) = {e^{x - 1}} = {e^x} \cdot {e^{ - 1}} = {e^{ - 1}} \cdot f\left( x \right) = \dfrac{1}{e} \cdot f\left( x \right)\)
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil wir zeigen können, dass
\(\eqalign{ & f''\left( x \right) > 0:f\left( x \right) = f'\left( x \right) = f''\left( x \right) = {e^x} \cr & x < 0:{e^x} \to 0 \cr & x = 0:{e^0} = 1 \cr & x > 0:{e^x} \to \infty \cr} \)
Wir haben bei der Bewertung der Aussagen wie folgt berücksichtigt:
- Wir wissen, dass die Steigung der Tangente an eine Funktion ihrer 1. Ableitung entspricht \(k = f'\left( x \right) = \dfrac{d}{{\operatorname{dx} }} \cdot f\left( x \right)\)
- Eine Funktion ist links gekrümmt, positiv bzw. konkav, wenn: \(f''\left( x \right) > 0\)
- Eine Funktion ist rechts gekrümmt, negativ bzw. konvex, wenn \(f''\left( x \right) < 0\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die vier zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.