Aufgabe 1869
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungen
Gegeben ist der Graph der Polynomfunktion 3. Grades f. Die Koordinaten der eingezeichneten Punkte (Tiefpunkt T, Wendepunkt W und Hochpunkt H) sind ganzzahlig.
Unten stehend sind verschiedene Aussagen zur 1. bzw. 2. Ableitung von f gegeben.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
[2 aus 5]
[0 / 1 P.]
- Aussage 1: f‘(0) > 0
- Aussage 2: f‘‘(0) > 0
- Aussage 3: f‘(1) > 0
- Aussage 4: f‘(2) > 0
- Aussage 5: f‘‘(2) > 0
Lösungsweg
Wir wenden die NEW-Regel an.
- Aussage 1: Falsch, weil f(x) an der Stelle 0 einen Tiefpunkt hat, muss f‘(0) eine Nullstelle sein, also f‘(0)=0
- Aussage 2: Richtig, weil f‘‘(0) > 0 bedeutet, dass f(0) links, positiv bzw. konkav gekrümmt ist, was auch der Fall ist.
- Aussage 3: Richtig, weil f(x) an der Stelle 1 einen Wendepunkt hat, hat dort die Tangente die stärkste (positive) Steigung. Daher muss f‘(1)> 0 sein. Konkret muss dort sogar das lokale Maximum von f‘(x) liegen
- Aussage 4: Falsch, weil f(x) an der Stelle 2 einen Hochpunkt hat, muss f‘(2) eine Nullstelle sein, also f‘(2)=0
- Aussage 5: Falsch, weil f‘‘(2) > 0 bedeutet, dass f(2) links, positiv bzw. konkav gekrümmt sein müsste. Das Gegenteil ist aber der Fall.
Nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge:
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- 1. Aussage: Falsch
- 2. Aussage: Richtig
- 3. Aussage: Richtig
- 4. Aussage: Falsch
- 5. Aussage: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.