Aufgabe 1653
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zweite Ableitung
Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades.
Die eingezeichneten Punkte sind der Hochpunkt H = (0 | f(0)), der Wendepunkt W = (2 | f (2)) und der Tiefpunkt T = (4 | f(4)) des Graphen.
Aufgabenstellung:
Nachstehend sind fünf Aussagen über die zweite Ableitung von f gegeben. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
- Aussage 1: Für alle x aus dem Intervall \(\left[ { - 1;1} \right]{\text{ gilt: }}f''\left( x \right) < 0\)
- Aussage 2: Für alle x aus dem Intervall \(\left[ {1;3} \right]{\text{ gilt: }}f''\left( x \right) < 0\)
- Aussage 3: Für alle x aus dem Intervall \(\left[ {3;5} \right]{\text{ gilt: }}f''\left( x \right) < 0\)
- Aussage 4: \(f''\left( 0 \right) = f''\left( 4 \right)\)
- Aussage 5: \(f''\left( 2 \right) = 0\)
Lösungsweg
- Aussage 1: Richtig, weil \(f''\left( x \right) < 0\) bedeutet, dass die Funktion in diesem Intervall rechtsgekrümmt sein muss, was auch der Fall ist.
- Aussage 2: Falsch , weil in diesem Intervall ein Wendepunkt ist und sich im Wendepunkt die Krümmung der Funktion umkehrt
- Aussage 3: Falsch, weil bedeutet, dass die Funktion in diesem Intervall rechtsgekrümmt sein muss, was aber nicht der Fall ist, denn die Funktion ist in diesem Intervall linksgekrümmt
- Aussage 4: Falsch, weil f‘‘ dort die Nullstelle hat, wo f den Wendepunkt hat. Die Stelle x=0 liegt also links von der Nullstelle von f‘‘, während die Stelle x=4 rechts von der Nullstelle von f‘‘ liegt. Somit können die beiden Werte unmöglich ident sein
- Aussage 5: Richtig, weil f an der Stelle x=0 einen Wendepunkt hat, daher muss f‘‘ an dieser Stelle eine Nullstelle haben und somit muss \(f''\left( 2 \right) = 0\) gelten.
Nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.