Aufgabe 1033
AHS - 1_033 & Lehrstoff: AN 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktion - Ableitung
In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der Ableitungsfunktion f' einer Funktion f dargestellt.
- Aussage 1: Jede Funktion f mit der Ableitungsfunktion f' hat an der Stelle x5 eine horizontale Tangente.
- Aussage 2: Es gibt eine Funktion f mit der Ableitungsfunktion f', deren Graph durch den Punkt P = (0|0) verläuft.
- Aussage 3: Jede Funktion f mit der Ableitungsfunktion f' ist im Intervall [x1; x2] streng monoton fallend.
- Aussage 4: Jede Funktion f mit der Ableitungsfunktion f' ist im Intervall [x3; x4] streng monoton steigend.
- Aussage 5: Die Funktionswerte f(x) jeder Funktion f mit der Ableitungsfunktion f' sind für x ∈ [x3; x5] stets positiv.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Lösungsweg
- Aussage 1: Falsch, wenn f an der Stelle x5 eine horizontale Tangente (=parallel zur x-Achse, Steigung k = 0) haben soll, dann müßte gelten \(f'\left( {{x_5}} \right) = 0\), was aber offensichtlich nicht der Fall ist \(f'\left( {{x_5}} \right) > 0\). Immerhin entspricht die Ableitung f' ja der Steigung der Funktion f im jeweiligen Punkt.
- Aussage 2: Richtig, weil \(\int {f'\left( x \right)} \,\,dx = f\left( x \right) + C\) was eine etwas "unübliche" Schreibweise von \(\int {f\left( x \right)\,\,dx = F\left( x \right)} + C\) ist. Entscheidend ist das "C", denn es verschiebt die Stammfunktion entlang der y-Achse nach oben oder nach unten. Durch ein geeignetes "C" kann man also erzwingen, dass die Funktion f genau durch den Nullpunkt des Koordinatensystems P = (0|0) verläuft
- Aussage 3: Falsch, weil f' im Intervall [x1; x2] oberhalb der x-Achse liegt (also f' als Steigung k der Funktion f immer positiv ist), muss f streng monoton steigen und eben nicht streng monoton fallen
- Aussage 4: Richtig, weil f' im Intervall [x3; x4] oberhalb der x-Achse liegt (also f' als Steigung k der Funktion f immer positiv ist), muss f streng monoton steigen.
- Aussage 5: Falsch, weil - wie sich bei Aussage 2 ausgeführt - man die Funktion f durch geeignete Wahl von "C" beliebig entlang der y-Achse - verschieben kann. Also auch so, dass f im Intervall [x3; x5] unter der x-Achse zu liegen kommt.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die zwei zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.