Aufgabe 1440
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sonnenhöhe
Unter der Sonnenhöhe φ versteht man denjenigen spitzen Winkel, den die einfallenden Sonnenstrahlen mit einer horizontalen Ebene einschließen. Die Schattenlänge s eines Gebäudes der Höhe h hangt von der Sonnenhöhe φ ab (s, h in Metern).
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Formel an, mit der die Schattenlange s eines Gebäudes der Hohe h mithilfe der Sonnenhöhe φ berechnet werden kann!
Lösungsweg
Wir fertigen eine Skizze an und tragen die wesentlichen Größen ein.
Wir betrachten das eingezeichnete rechtwinkelige Dreieck. Wir kennen die Gebäudehöhe h und wir wollen die Schattenlänge s in Abhängigkeit vom Winkel φ ausdrücken. Aus Sicht vom Winkel φ ist h die Gegenkathete und s die Ankathete.
\(\eqalign{ & \tan \varphi = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \dfrac{h}{s} \cr & s = \dfrac{h}{{\tan \varphi }} \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(s = \dfrac{h}{{\tan \left( \varphi \right)}}{\text{ mit }}\varphi \in \left( {0^\circ ;90^\circ } \right){\text{ bzw}}{\text{. }}\varphi \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Formel, wobei der Definitionsbereich für φ nicht angegeben werden muss. Äquivalente Ausdrucke sind ebenfalls als richtig zu werten.