Aufgabe 1221
AHS - 1_221 & Lehrstoff: AG 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sonnenradius
Die Sonne erscheint von der Erde aus unter einem Sehwinkel von α ≈ 0,52°. Die Entfernung der Erde vom Mittelpunkt der Sonne beträgt ca. \(150 \cdot {10^6}{\rm{ km}}\).
Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie eine Formel zur Berechnung des Sonnenradius an und berechnen Sie den Radius!
Lösungsweg
Wir tragen die Werte aus der Angabe in die Illustration ein.
Der Sehwinkel (0,52°) ist der Winkel zwischen den beiden äußeren Randpunkten eines Gegenstands (hier die Sonne) und dem Auge. Für das rechtwinkelige Dreieck, welches wir berechnen, ist der Öffnungswinkel lediglich der halbe Sehwinkel, also 0,26°.
Sinus – Winkelfunktion
\(\sin \alpha = \dfrac{{{\rm{Gegenkathete}}}}{{{\rm{Hypotenuse}}}}\)
- Vom rechtwinkeligen Dreieck kennen wir die Hypotenuse mit \(150 \cdot {10^6}{\rm{ km}}\). Sie ist die dem rechten Winkel gegenüber liegende Seite.
- Weiters kennen wir den Winkel \(\dfrac{\alpha }{2} = 0,26^\circ\)
Wir machen die Gegenkathete r explizit und können daher wie folgt anschreiben:
\(\eqalign{
& \sin \left( {0,26^\circ } \right) = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Hypothenuse}}}} = \dfrac{r}{{150 \cdot {{10}^6}}} \cr
& r = 150 \cdot {10^6} \cdot \sin \left( {0,26^\circ } \right) \cr
& r \approx 150 \cdot {10^6} \cdot 0,0045378\,\,{\text{km}} \cr
& r \approx 6,8 \cdot {10^5}{\text{ km}} \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(r = 6,8 \cdot {10^5}{\text{ km}}\)
Lösungsschlüssel:
Toleranzintervall \(\left[ {6 \cdot {{10}^5};7 \cdot {{10}^5}} \right]\)
Alle zu der in der Lösungserwartung angegebenen Formel äquivalenten Terme sind als richtig zu werten. Die Maßzahl für den Radius muss aus dem Toleranzintervall sein.