Aufgabe 1134
AHS - 1_134 & Lehrstoff: AG 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rechtwinkeliges Dreieck
Von einem rechtwinkeligen Dreieck ABC sind die Längen der Seiten a und c gegeben.
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Formel für die Berechnung des Winkels α an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Tangens – Winkelfunktion
\(\tan \alpha = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)
Achtung: Bei diesem rechtwinkeligen Dreieck weicht die Beschriftung a, b, c der Seiten von der "üblichen" Beschriftung ab. "Üblich" ist dass c die Hypotenuse bezeichnet, hier bezeichnet aber b - die dem rechten Winkel gegenüber liegende Seite - die Hypotenuse. ⇒ Darum soll man sich die Winkelfunktionen auch nicht auf Basis der Beschriftung a, b, c der Dreiecksseite - also \(\tan \alpha = \dfrac{a}{c}\) - merken, sondern unbedingt auf Basis der Eigenschaft / Bezeichnung der Dreieckseite \(\tan \alpha = \dfrac{{{\rm{Gegenkathete}}}}{{{\rm{Ankathete}}}}\).
Lösungsweg
Wir benennen die Seiten des rechtwinkeligen Dreiecks wie folgt:
- b ... Hypotenuse
- a ... Gegenkathete zum Winkel α
- c ... Ankathete zumWinkel α
Der gesuchte Winkel α ergibt sich somit zu:
\(\begin{array}{l} \tan \alpha = \dfrac{{{\rm{Gegenkathete}}}}{{{\rm{Ankathete}}}} = \dfrac{a}{c}\\ \tan \alpha = \dfrac{a}{c}\\ \alpha = \arctan \left( {\dfrac{a}{c}} \right) \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\alpha = \arctan \left( {\dfrac{a}{c}} \right)\) aber auch \(\alpha = {\tan ^{ - 1}}\left( {\dfrac{a}{c}} \right)\) oder \(\tan \alpha = \dfrac{a}{c}\)
Lösungsschlüssel:
Als nicht richtig zu werten sind Umformungsketten, die die Gleichheit verletzen, wie z. B.: \(\alpha = \tan \alpha = \dfrac{a}{c} = {\tan ^{ - 1}}\left( {\dfrac{a}{c}} \right)\)
Formeln, bei denen b durch a und c ausgedrückt wird, sind ebenso als richtig zu werten, wie z.B.: \(\sin \alpha = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)