Doppelbruch auflösen
Ein Doppelbruch ist ein Bruch in dessen Zähler und / oder Nenner ebenfalls ein Bruch steht. Einen Doppelbruch löst man auf, indem man den Dividend mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Bruch
Ein Bruch ist eine Schreibweise für eine Zahl. Der Bruch besteht aus einem Bruchstrich, der dem Rechenzeichen "Dividiert" entspricht, einer Zahl als Zähler, die oberhalb vom Bruchstrich steht und einer Zahl als Nenner, die unterhalb vom Bruchstrich steht. Der Nenner, der auch Teiler oder Divisor genannt wird, gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wurde. Der Zähler, der auch Dividend genannt wird, gibt an wie viele Teile vom Nenner genommen werden. Dividiert man den Dividend durch den Divisor, so erhält man eine Dezimalzahl, die Quotient genannt wird. Stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen, so gehört der Quotient der Menge der rationalen Zahlen an. Verbal sagt man statt Bruchstich gerne "gebrochen durch" oder "geteilt durch". Geschrieben wird der Bruchstrich als waagrechter oder schräger Strich der zwischen dem Zähler und den Nenner steht.
\({\text{Wert des Bruchs = }}\dfrac{{{\text{Zähler}}}}{{{\text{Nenner}}}}{\text{ = }}\dfrac{{{\text{Dividend}}}}{{{\text{Divisor}}}}{\text{ = Quotient}}\)
Brüche lassen sich durch Division in Dezimalzahlen umwandeln. Stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen, so gehört der Quotient der Menge der rationalen Zahlen an.
Beispiel:
Der Bruch vier Fünftel entspricht der Dezimalzahl 0,8
\(\dfrac{4}{5} = 4:5 = 0,8 \)
Echter Bruch
Bei echten Brüchen ist der Zähler kleiner als der Nenner, dadurch ist der Wert des Bruchs kleiner als 1.
\(\dfrac{Z}{N} < 1{\text{ wobei Z < N}}\)
Beispiel:
\(\dfrac{3}{5}\)
Unechter Bruch
Bei unechten Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner, dadurch ist der Wert des Bruchs größer als 1.
\(\dfrac{Z}{N} > 1;{\text{ wobei Z > N}}\)
Beispiel:
\(\dfrac{5}{3} \approx 1,6667\)
Herausheben bei unechten Brüchen
Unechten Brüche können durch „herausheben“ vereinfacht werden. Man zerlegt dabei den Ausgangsbruch in zwei Brüche, bei denen der erste Bruch im Zähler ein ganzzahliges Vielfaches vom Nenner hat und der somit durch Kürzen zu einer ganzen Zahl wird. Als zweiter Bruch bleibt dann ein echter Bruch über. Es entstehen „gemischte Zahlen“, also Zahlen, die aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch bestehen.
Beispiel:
\(\dfrac{7}{2} = \dfrac{{3 \cdot 2 + 1}}{2} = \dfrac{{3 \cdot 2}}{2} + \dfrac{1}{2} = 3 + \dfrac{1}{2} = 3\dfrac{1}{2}\)
Gemischte Zahl
Eine gemischte Zahl ist eine spezielle Schreibweise für einen unechten Bruch, bei der man den unechten Bruch in eine Summe aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch aufspaltet. Danach gibt es noch eine verkürzte Schreibweise, bei der man das Summenzeichen weg lässt.
\(c\dfrac{Z}{N} = c + \dfrac{Z}{n}\)
Beispiel
\(\dfrac{5}{2} = \dfrac{{4 + 1}}{2} = \dfrac{4}{2} + \dfrac{1}{2} = 2 + \dfrac{1}{2} = 2\dfrac{1}{2}\)
Achtung:
- Bei der Schreibweise für Variablen gilt: \(ab = a \cdot b\)
- Bei der Schreibweise für Brüche gilt: \(2\dfrac{1}{2} \ne 2 \cdot \dfrac{1}{2}\)
weil- \(2\dfrac{1}{2} = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2} = 2,5\) ... sprich "2 Ganze plus ein Halbes"
- \(2 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2 \cdot 1}}{{1 \cdot 2}} = \dfrac{2}{2} = 1\) ... sprich "2 mal ein Halbes"
Stammbruch
Beim Stammbruch ist der Zähler = 1.
\(\dfrac{1}{N}\)
Dezimalbruch
Beim Dezimalbruch ist der Nenner eine dekadische Einheit (10, 100, 1000,..).
\(\dfrac{Z}{{n \cdot 10}}\)
Uneigentlicher Bruch bzw. Scheinbruch
Beim uneigentlichen Bruch ist der Zähler gleich groß wie der Nenner oder ein ganzzahliges Vielfaches vom Nenner. Der Wert des Bruchs ist daher eine ganze Zahl.
\(\dfrac{{n \cdot N}}{N} = n;\)
Beispiel:
n=3, N=2: \(\dfrac{6}{2} = 3\)
Kehrwert eines Bruchs bzw. Reziprokwert
Den Kehrwert eines Bruchs, auch Reziprokwert genannt, erhält man, indem man Zähler und Nenner vom Bruch vertauscht. Man bildet den Kehrwert, damit sich die Division einer Zahl durch einen Bruch auf eine Multiplikation mit dem Kehrwert vom Bruch vereinfacht.
\(\eqalign{ & {\text{Bruch: }}\dfrac{{\text{Z}}}{{\text{N}}} \cr & {\text{Kehrwert: }}\dfrac{{\text{N}}}{{\text{Z}}} \cr}\)
Beispiel:
\(\begin{array}{l} \dfrac{4}{5} \to \dfrac{5}{4}\\ \dfrac{3}{{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}} = 3:\dfrac{4}{5} = 3 \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{{15}}{4} = 3\dfrac{3}{4} = 3,75 \end{array}\)
Doppelbruch
Ein Doppelbruch ist ein Bruch in dessen Zähler und Nenner ebenfalls ein Bruch steht. Es wird also ein Bruch durch einen anderen Bruch dividiert.
- Einen Doppelbruch löst man auf, indem man „Außenglied (ZA)“ mal „Außenglied (NA)“ gebrochen durch „Innenglied (NI)“ mal „Innenglied (ZI)“ anschreibt.
\(\dfrac{{\dfrac{{{Z_A}}}{{{N_I}}}}}{{\dfrac{{{Z_I}}}{{{N_A}}}}} = \dfrac{{{Z_A} \cdot {N_A}}}{{{N_I} \cdot {Z_I}}}\)
- Ein Bruch wird dividiert, indem man den Dividend mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert
\(\dfrac{{\dfrac{a}{b}}}{{\dfrac{c}{d}}} = \dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\)
Wenn nur im Zähler oder im Nenner ebenfalls ein Bruch steht, so ist es wichtig, dass man den Überblick behält, welcher Bruchstrich den Hauptbruch darstellt, also den Hauptzähler vom Hauptnenner trennt. Beachte in den beiden nachfolgenden Beispielen, dass das Gleichheitszeichen auf Höhe vom Hauptbruchstrich steht.
Beispiele:
\(\eqalign{ & {\text{Doppelbruch mit Bruch im Zähler:}} \cr & \dfrac{{\dfrac{a}{b}}}{c} = \dfrac{{\dfrac{a}{b}}}{{\dfrac{c}{1}}} = \dfrac{a}{{b \cdot c}} \cr & \cr & {\text{Doppelbruch mit Bruch im Nenner:}} \cr & \dfrac{a}{{\dfrac{b}{c}}} = \dfrac{{\dfrac{a}{1}}}{{\dfrac{b}{c}}} = \frac{{a \cdot c}}{b} \cr} \)
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgaben
Aufgabe 4273
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Darts - Aufgabe A_302
Teil a
Darts ist ein Spiel, bei dem Pfeile auf eine kreisförmige Dartscheibe geworfen werden (siehe nachstehende Abbildung).
In der obigen Abbildung sind die Durchmesser zweier Kreise gekennzeichnet, die einen gemeinsamen Mittelpunkt haben. Der innere Kreis hat den Durchmesser d = 34 cm und der äußere Kreis den Durchmesser D = 45 cm.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie, wie viel Prozent die Fläche des inneren Kreises bezogen auf jene des äußeren Kreises ausmacht.
[0 / 1 P.]
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.