Kombinatorik
Formel
Kombinatorik
Die Kombinatorik beschäftigt sich damit, die Anzahl der Elemente von endlichen Mengen geschickt (also durch Rechnen, nicht durch Zählen) zu bestimmen. Sie untersucht die Fragestellung, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine endliche Anzahl an Objekten anzuordnen oder auszuwählen.
Dabei unterscheidet man zwischen
- mit / ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
- mit / ohne Zurücklegen
- ob alle n Elemente oder nur k (k<=n) Elemente verwendet werden
Kombinatorische Abzählverfahren
Man unterscheidet bei den kombinatorischen Abzählverfahren zwischen Permutationen, Variationen bzw. Kombinationen je nachdem ob alle Elemente (Permutation) oder nur eine Stichprobe verwendet werden. Wird eine Stichprobe verwendet unterscheidet man weiters ob die Reihenfolge relevant (Variation) oder irrelevant (Kombination) ist. Zuletzt unterscheidet man bei allen 3 kombinatorischen Abzählverfahren ob Elemente zurückgelegt werden oder ob nicht.
| 1. Unterscheidung: alle Elemente oder Stichprobe |
2. Unterscheidung, falls Stichprobe: Reihenfolge relevant oder egal | 3. Unterscheidung: mit oder ohne Wiederholung | ||
| Kombinatorische Abzählverfahren | Elemente der Grundmenge | Reihenfolge bzw. Anordnung | Wiederholung, Zurücklegen, treten Elemente mehrfach auf |
Anzahl |
|
Permutation Urnenmodel: Ziehen aller n unterscheidbaren Kugeln ohne Zurücklegen, wobei die Reihenfolge beachtet wird |
alle n Elemente müssen verwendet werden | relevant \(\left( {a,b} \right) \ne \left( {b,a} \right)\) |
ohne | \(n!\) |
|
Permutation Urnenmodel: Ziehen aller n Kugeln, von denen manche r, s und t fach vorkommen / mit Zurücklegen, wobei die Reihenfolge beachtet wird |
alle n Elemente müssen verwendet werden | relevant \(\left( {a,b} \right) \ne \left( {b,a} \right)\) |
mit | \(\begin{gathered} \dfrac{{n!}}{{r! \cdot s! \cdot t!}} \\ {\text{mit:}} \\ r + s + t = n \\ \end{gathered}\) |
|
Variation Urnenmodel: Ziehen von nur k aus n unterscheidbaren Kugeln, wobei die Reihenfolge beachtet wird |
nur k Elemente (Stichprobe) werden verwendet | relevant \(\left( {a,b} \right) \ne \left( {b,a} \right)\) |
ohne | \(\dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot k!\) |
|
Variation Urnenmodel: Ziehen von nur k aus n unterscheidbaren Kugeln, von denen manche mehrfach vorkommen können, wobei die Reihenfolge beachtet wird |
nur k Elemente (Stichprobe) werden verwendet | relevant \(\left( {a,b} \right) \ne \left( {b,a} \right)\) |
mit | \({n^k}\) |
|
Kombination Urnenmodel: Ziehen von nur k aus n unterscheidbaren Kugeln, ohne Beachtung der Reihenfolge N … Anzahl der Elemente insgesamt M … Anzahl der Elemente, die als Erfolg gelten n … Anzahl der im Rahmen des Experiments gezogenen Elemente x … Anzahl der Treffer |
nur k Elemente (Stichprobe) werden verwendet | egal
(a,b)=(b,a) |
ohne |
Anzahl: Wahrscheinlichkeit: |
|
Kombination Urnenmodel: Ziehen von nur k aus n Kugeln, von denen manche mehrfach vorkommen können, ohne Beachtung der Reihenfolge |
nur k Elemente (Stichprobe) werden verwendet | egal
(a,b)=(b,a) |
mit | \(\dfrac{{\left( {n + k - 1} \right)!}}{{k! \cdot \left( {n - 1} \right)!}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n + k - 1}\\ k \end{array}} \right)\) |
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
| Stochastik | Wissenswertes über: Kombinatorik, Beschreibende Statistik - Lagemaße + Streumaße, Schließende Statistik - Wahrscheinlichkeitsrechnung und Exporative Statistik - Data Mining |
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| Beschreibende Statistik | Die beschreibende bzw. deskriptive Statistik stellt große Datenmengen (Vollerhebung, Grundgesamtheit) übersichtlich dar und verdichtet diese, damit charakteristische Eigenschaften der Datenmenge durch einfache Kennzahlen ausgedrückt werden können. |
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| Fakultät und Binomialkoeffizient | "n!" oder „n Faktorielle“ oder “n Fakultät“ ist eine vereinfachte Schreibweise für das Produkt aller natürlichen Zahlen größer Null, die kleiner und gleich der Zahl n sind. Der Binomialkoeffizient „n über k“ besagt, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus einer Menge von n Elementen auszuwählen. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1377
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Grundraum eines Zufallsversuchs
In einer Urne befinden sich zwei Kugeln, die mit den Zahlen 0 bzw. 1 beschriftet sind. Die Kugeln sind – abgesehen von ihrer Beschriftung – nicht unterscheidbar. Aus dieser Urne wird dreimal zufällig eine Kugel gezogen, wobei diese nach jedem Zug wieder in die Urne zurückgelegt wird.
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Grundraum dieses Zufallsversuchs vollständig durch Zahlentripel ( x; y; z) an! x, y und z nehmen dabei jeweils die Werte 0 oder 1 an.
Aufgabe 1471
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Verschiedenfärbige Kugeln
Auf einem Tisch steht eine Schachtel mit drei roten und zwölf schwarzen Kugeln. Nach dem Zufallsprinzip werden nacheinander drei Kugeln aus der Schachtel gezogen, wobei die gezogene Kugel jeweils wieder zurückgelegt wird.
- Aussage 1: Es wird höchstens eine schwarze Kugel gezogen.
- Aussage 2: Es werden genau zwei schwarze Kugeln gezogen.
- Aussage 3: Es werden zwei rote Kugeln und eine schwarze Kugel gezogen.
- Aussage 4: Es werden nur rote Kugeln gezogen.
- Aussage 5: Es wird mindestens eine rote Kugel gezogen.
- Aussage 6: Es wird keine rote Kugel gezogen
Aufgabenstellung:
Gegeben ist der folgende Ausdruck: \(3 \cdot {0,8^2} \cdot 0,2\)
Kreuzen Sie dasjenige Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit durch diesen Ausdruck berechnet wird!
Aufgabe 1471
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Verschiedenfärbige Kugeln
Auf einem Tisch steht eine Schachtel mit drei roten und zwölf schwarzen Kugeln. Nach dem Zufallsprinzip werden nacheinander drei Kugeln aus der Schachtel gezogen, wobei die gezogene Kugel jeweils wieder zurückgelegt wird.
- Aussage 1: Es wird höchstens eine schwarze Kugel gezogen.
- Aussage 2: Es werden genau zwei schwarze Kugeln gezogen.
- Aussage 3: Es werden zwei rote Kugeln und eine schwarze Kugel gezogen.
- Aussage 4: Es werden nur rote Kugeln gezogen.
- Aussage 5: Es wird mindestens eine rote Kugel gezogen.
- Aussage 6: Es wird keine rote Kugel gezogen
Aufgabenstellung:
Gegeben ist der folgende Ausdruck: \(3 \cdot {0,8^2} \cdot 0,2\)
Kreuzen Sie dasjenige Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit durch diesen Ausdruck berechnet wird!
Aufgabe 1377
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Grundraum eines Zufallsversuchs
In einer Urne befinden sich zwei Kugeln, die mit den Zahlen 0 bzw. 1 beschriftet sind. Die Kugeln sind – abgesehen von ihrer Beschriftung – nicht unterscheidbar. Aus dieser Urne wird dreimal zufällig eine Kugel gezogen, wobei diese nach jedem Zug wieder in die Urne zurückgelegt wird.
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Grundraum dieses Zufallsversuchs vollständig durch Zahlentripel ( x; y; z) an! x, y und z nehmen dabei jeweils die Werte 0 oder 1 an.
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Aufgabe 1425
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rote und blaue Kugeln
In einem Behälter befinden sich 15 rote Kugeln und 18 blaue Kugeln. Die Kugeln sind bis auf ihre Farbe nicht unterscheidbar. Es sollen nun in einem Zufallsexperiment zwei Kugeln nacheinander gezogen werden, wobei die erste Kugel nach dem Ziehen nicht zurückgelegt wird und es auf die Reihenfolge der Ziehung ankommt.
Die Buchstaben r und b haben folgende Bedeutung:
- r ... das Ziehen einer roten Kugel
- b ... das Ziehen einer blauen Kugel
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Ein Grundraum G für dieses Zufallsexperiment lautet _______1______, und _________2___________ ist ein Ereignis.
| 1 | |
| \(G = \left\{ {r,b} \right\}\) | A |
| \(G = \left\{ {\left( {r,r} \right),\left( {r,b} \right),\left( {b,b} \right)} \right\}\) | B |
| \(G = \left\{ {\left( {r,r} \right),\left( {r,b} \right),\left( {b,r} \right),\left( {b,b} \right)} \right\}\) | C |
| 2 | |
| die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine blaue Kugel gezogen wird, | I |
| jede Teilmenge des Grundraumes | II |
| b | III |
Aufgabe 1471
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Verschiedenfärbige Kugeln
Auf einem Tisch steht eine Schachtel mit drei roten und zwölf schwarzen Kugeln. Nach dem Zufallsprinzip werden nacheinander drei Kugeln aus der Schachtel gezogen, wobei die gezogene Kugel jeweils wieder zurückgelegt wird.
- Aussage 1: Es wird höchstens eine schwarze Kugel gezogen.
- Aussage 2: Es werden genau zwei schwarze Kugeln gezogen.
- Aussage 3: Es werden zwei rote Kugeln und eine schwarze Kugel gezogen.
- Aussage 4: Es werden nur rote Kugeln gezogen.
- Aussage 5: Es wird mindestens eine rote Kugel gezogen.
- Aussage 6: Es wird keine rote Kugel gezogen
Aufgabenstellung:
Gegeben ist der folgende Ausdruck: \(3 \cdot {0,8^2} \cdot 0,2\)
Kreuzen Sie dasjenige Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit durch diesen Ausdruck berechnet wird!
Aufgabe 6027
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Zwei Drittel der Senioren in Deutschland besitzen ein Mobiltelefon. Bei einer Talkshow zum Thema „Chancen und Risiken der digitalen Welt“ sitzen 30 Senioren im Publikum.
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 30 zufällig ausgewählten Senioren in Deutschland mindestens 17 und höchstens 23 ein Mobiltelefon besitzen.
Von den 30 Senioren im Publikum besitzen 24 ein Mobiltelefon. Im Verlauf der Sendung werden drei der Senioren aus dem Publikum zufällig ausgewählt und nach ihrer Meinung befragt.
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei dieser drei Senioren ein Mobiltelefon besitzen.