Aufgabe 6024
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Der Marketingchef einer Handelskette plant eine Werbeaktion, bei der ein Kunde die Höhe des Rabatts bei seinem Einkauf durch zweimaliges Drehen an einem Glücksrad selbst bestimmen kann. Das Glücksrad hat zwei Sektoren, die mit den Zahlen 5 bzw. 2 beschriftet sind (vgl. Abbildung).
Der Rabatt in Prozent errechnet sich als Produkt der beiden Zahlen, die der Kunde bei zweimaligem Drehen am Glücksrad erzielt. Die Zufallsgröße X beschreibt die Höhe dieses Rabatts in Prozent, kann also die Werte 4, 10 oder 25 annehmen. Die Zahl 5 wird beim Drehen des Glücksrads mit der Wahrscheinlichkeit p erzielt. Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass jeder Kunde genau einen Einkauf tätigt und auch tatsächlich am Glücksrad dreht.
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde bei seinem Einkauf einen Rabatt von 10% erhält.
(Ergebnis: \(2 \cdot p - 2 \cdot {p^2}\) )
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert E(X) der Zufallsgröße X gilt:
\(E\left( X \right) = 9 \cdot {p^2} + 12 \cdot p + 4\)
Die Geschäftsführung will im Mittel für einen Einkauf einen Rabatt von 16% gewähren.
3. Teilaufgabe c.1) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie für diese Vorgabe den Wert der Wahrscheinlichkeit p.
Berechnen Sie für diese Vorgabe den zugehörigen Mittelpunktswinkel des Sektors mit der Zahl 5.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde bei seinem Einkauf den niedrigsten Rabatt erhält, beträgt 1/9.
4. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Bestimmen Sie, wie viele Kunden mindestens an dem Glücksrad drehen müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält.
Es drehen 180 Kunden am Glücksrad.
Teilaufgabe e) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit mindestens 10 und höchstens 25 dieser Kunden den niedrigsten Rabatt für ihren Einkauf erhalten.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir erstellen ein Baumdiagramm:
Es gibt 2 Wege im Baumdiagramm, um auf 10% zu kommen: Zuerst eine 5 dann eine 2 oder zuerst eine 2 dann eine 5 zu „ziehen“.
\(\eqalign{ & P\left( {10} \right) = P\left( 5 \right) \cdot P\left( 2 \right) + P\left( 2 \right) \cdot P\left( 5 \right) = \cr & = p \cdot \left( {1 - p} \right) + \left( {1 - p} \right) \cdot p = 2 \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right) = \cr & = p - {p^2} + p - {p^2} = 2 \cdot p - 2 \cdot {p^2} \cr & \cr & P\left( {10} \right) = 2 \cdot p - 2 \cdot {p^2} \cr} \)
2. Teilaufgabe:
Der Erwartungswert entspricht der Summe der Werte der Zufallsvariablen X=xi multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von xi also P(X=xi).
\(E\left( X \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} \)
Aus der 1. Teilaufgabe kennen wir bereits P(X=10). Wir benötigen daher noch die beiden anderen möglichen Wahrscheinlichkeiten P(X=4) und P(X=25)
\(\eqalign{ & P\left( {X = 10} \right) = 2 \cdot p - 2 \cdot {p^2} \cr & P(X = 4) = \left( {1 - p} \right) \cdot \left( {1 - p} \right) = 1 - 2 \cdot p + {p^2} \cr & P(X = 25) = p \cdot p = {p^2} \cr & \cr & E(X) = 10 \cdot \left( {2 \cdot p - 2 \cdot {p^2}} \right) + 4 \cdot \left( {1 - 2 \cdot p + {p^2}} \right) + 25 \cdot {p^2} = \cr & = 20 \cdot p - 20 \cdot {p^2} + 4 - 8 \cdot p + 4 \cdot {p^2} + 25 \cdot {p^2} = \cr & = \left( { - 20 + 25 + 4} \right) \cdot {p^2} + \left( {20 - 8} \right) \cdot p + 4 \cr & \cr & E(X) = 9 \cdot {p^2} + 12 \cdot p + 4\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{wzbw}} \cr} \)
3. Teilaufgabe:
Wahrscheinlichkeit p für Rabatt von 16%
Diese Vorgabe bedeutet, dass E(X)=16 gelten muss:
\(\eqalign{ & E(X) = 9 \cdot {p^2} + 12 \cdot p + 4 = 16\,\,\,\,\,\left| { - 16} \right. \cr & 9 \cdot {p^2} + 12 \cdot p - 12 = 0 \cr} \)
Wir lösen die quadratische Gleichung in einer Variablen mittels der abc Formel:
\({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4 \cdot a \cdot c} }}{{2 \cdot a}}\)
Somit:
\(\eqalign{ & a = 9 \cr & b = 12 \cr & c = - 12 \cr & {p_{1,2}} = \dfrac{{ - 12 \pm \sqrt {{{12}^2} - 4 \cdot 9 \cdot \left( { - 12} \right)} }}{{2 \cdot 9}} = \dfrac{{ - 12 \pm \sqrt {{{12}^2} + 432} }}{{18}} \cr & \left( {{p_1} = - 2} \right) \cr & {p_2} = \dfrac{2}{3} \cr} \)
→ p muss 2/3 sein.
D.h. die Fläche auf dem Glücksrad welcher der Zahl 5 entspricht muss 2/3 und die Fläche welcher die Zahl 2 entspricht muss 1/3 der Gesamtfläche einnehmen. Der Mittelpunktswinkel des Sektors mit der Zahl 5 ergibt sich zu:
\(\alpha = 360^\circ \cdot \dfrac{2}{3} = 240^\circ \)
Der Mittelpunktswinkel muss 240° betragen.
4. Teilaufgabe:
Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 %, dafür dass mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält:
Die Formelsammlung liefert für „mindestens k Treffer“:
\(P\left( {X \ge k} \right) = 1 - P\left( {X \le k - 1} \right) = 1 - \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
i
\end{array}} \right)} \cdot {p^i} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - i}}\)
Somit:
\(\begin{array}{l}
k = 1\\
p = \dfrac{1}{9}\\
1 - \sum\limits_{i = 0}^{1 - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
0
\end{array}} \right)} \cdot {\left( {\dfrac{1}{9}} \right)^0} \cdot {\left( {1 - \dfrac{1}{9}} \right)^{n - 0}} \ge 0,99\\
1 - 1 \cdot 1 \cdot {\left( {\dfrac{9}{9} - \dfrac{1}{9}} \right)^n} \ge 0,99\\
1 - {\left( {\dfrac{8}{9}} \right)^n} \ge 0,99\,\,\,\,\,\left| { - 1} \right.\\
- {\left( {\dfrac{8}{9}} \right)^n} \ge - 0,01\,\,\,\,\,\left| { \cdot \left( { - 1} \right)\,} \right.\\
\\
\,\, \cdot \left( { - 1} \right) \to {\rm{Umkehrung vom Ungleichheitszeichen}}\\
\\
{\left( {\dfrac{8}{9}} \right)^n} \le 0,01\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right.\\
\ln {\left( {\dfrac{8}{9}} \right)^n} \le \ln \left( {0,01} \right)\\
\\
{\rm{NR}}{\rm{.: }}\ln \left( {{u^r}} \right) = r \cdot \ln \left( u \right)\\
\\
n \cdot \ln \left( {\dfrac{8}{9}} \right) \le \ln \left( {0,01} \right)\,\,\,\,\,\left| : \right.\ln \left( {\dfrac{8}{9}} \right)\\
\\
:n\left( {\dfrac{8}{9}} \right) \approx : - 0,12 \to {\rm{Umkehrung vom Ungleichheitszeichen}}\\
\\
n \ge \dfrac{{\ln \left( {0,01} \right)}}{{\ln \left( {\dfrac{8}{9}} \right)}} \approx 39,098
\end{array}\)
→ Es müssen mindestens 40 Kunden das Glücksrad drehen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\(P\left( {10} \right) = 2 \cdot p - 2 \cdot {p^2}\)
2. Teilaufgabe:
\(E(X) = 9 \cdot {p^2} + 12 \cdot p + 4\)
3. Teilaufgabe:
- p muss 2/3 sein.
- Der Mittelpunktswinkel muss 240° betragen.
4. Teilaufgabe:
Es müssen mindestens 40 Kunden das Glücksrad drehen.